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title: "β 端点质量观测台互动实验｜Sandbox Physics"
description: "贝塔衰变能谱末端的电子能量，怎样看出中微子质量？中微子有质量，电子能谱端点附近的形状就会略微改变。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/labs/beta-endpoint-mass/"
last_modified: "2026-10-27"
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中微子 · D14 · 称量看不见的粒子

# β 端点质量观测台

**贝塔衰变能谱末端的电子能量，怎样看出中微子质量？** 中微子有质量，电子能谱端点附近的形状就会略微改变。一台巨大的静电过滤器只放过高于设定能量的电子，一档档扫过去，就能描出这段形状。端点标定差一点，也能冒充另一个质量；结论有多可靠，取决于能谱、响应和标定模型。

逐步调节静电截止阈值，扫过贝塔能谱的末端，记下计数，再拟合中微子质量。看看驻留时间、过滤器宽度和端点标定怎样改变结果。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

这是参照 MAC-E 能谱测量设计的教学模拟。模型只用一个有效质量，固定电子前因子，并假设接收锥内的电子有理想响应，以此代替分子氚能谱和真实装置。对每个非负的质量平方，都重新拟合源强、正的本底和端点偏移。端点标定以高斯惩罚项进入，响应宽度固定为分析设置。偏差等高线没有标定覆盖率，不是实验给出的质量上限。这里不复现 KATRIN 的数据或灵敏度。

一次电压扫描给出有条件的结果

## 最后几电子伏特。

采样计数 拟合期望 重新拟合的零质量参考 显示生成参考

### 截止扫描，不是能量直方图

每个点是一个独立的泊松计数除以驻留时间，纵轴为对数刻度。误差棒取计数的平方根，不是精确的泊松区间。点击或用方向键选择电压。

### 检查端点附近的相同计数

最后十电子伏特内，观测计数率减去拟合计数率。灰线是零质量期望（其余参数重新拟合）减去最佳拟合；粉线是生成参考，单独画出。

### 过滤器真正接收什么

归一化透射率随剩余能量的变化：蓝线用采集时的宽度，金线用分析时假定的宽度。磁接收率并入源归一化。这是理想响应，不是重建出的探测数据。

### 质量还可以改变多少？

对每个非负的质量平方，重新拟合源强、正的本底和端点偏移。阴影标出偏差上升不超过一的范围，高于十二的值被截掉。覆盖率没有标定，图中也不给质量上限。

### 追踪一个截止点

- **阻滞能量**: $0$
- **距参考端点的能量**: $0$
- **观测计数**: $0$
- **驻留时间**: $0$
- **拟合总率**: $0$

分析面与探测器标示所选扫描点；电子路径是示意，不是采样事件。

### 读取条件拟合

- **偏差上升一的质量平方范围**: $0$
- **源强倍数**: $0$
- **拟合本底率**: $0$
- **拟合端点偏移**: $0$
- **含惩罚偏差最小值**: $0$

每个扫描点的可访问计数

距端点能量（eV）、驻留秒数与拟合期望计数

| 能差 | 秒数 | 计数 | 拟合期望 |
| --- | --- | --- | --- |

约定、近似与一手来源

参考端点为 18,575 eV。能差为正，表示在端点以下；端点偏移为正，表示真实端点更高。电子从左到右依次经过源、分析面和探测器。间距、线圈、磁通线、螺旋半径和探测器分段都是示意。剖面和各个镜头看到的是同一台装置。路径只用来说明哪些电子通过、哪些被反射，没有追踪电磁场，也没有采样光学信号。

窗口很窄，电子的动量、能量和费米因子都取固定值；其余相空间只用一个有效质量。解析的相空间积分用八点角度求积，在各向同性的接收锥内取平均，源处与夹点处的磁场比为 0.6。宽度固定为参考能量处的值。模型不含分子末态、源内散射、多普勒展宽、电压抖动、辐射修正和磁场不均匀，也不区分三个不同质量，所以结果不能当作精密的 KATRIN 分析。

二十四个阈值从参考端点下方三十电子伏特排到上方四电子伏特，越靠近端点，驻留时间越长。每个阈值单独采集，不是嵌套计数。平坦本底既用来生成数据，也参与拟合，不当作已知值直接扣除。端点标定惩罚代表一项假定的外部测量。质量平方只在物理范围内扫描，从零到九平方电子伏特；不给负值估计，也不构造标定过的置信区间。

- [KATRIN · Measurement principle](https://www.katrin.kit.edu/79.php)
- [Kleesiek et al. · Spectrum, MAC-E response and statistical model](https://arxiv.org/abs/1806.00369)

[阅读 KATRIN 的故事 →](https://sandboxphysics.com/zh/stories/neutrinos/katrin-beta-endpoint-neutrino-mass/) [缺少的能量去哪里了？ →](https://sandboxphysics.com/zh/stories/neutrinos/beta-decay-missing-energy/)

物理教程

## 从端点称量

**背景** 中微子逃走了，看不见，但它的静能会改变电子能谱的最末端。MAC-E 过滤器设一道可调的静电阈值，只数能越过它的电子。

**为什么值得理解** 美因茨、特罗伊茨克和 KATRIN 实验发展了直接测量端点能谱的方法。这里用理想响应和模拟计数，单独走一遍从计数到质量的推断。

先抓重点

- **核心问题**: 端点标定差一点点，会不会看起来像中微子质量变了？
- **一句话直觉**: 统计等高线再窄，也要假定的能谱、响应和标定都对，才靠得住。

### 核心数学模型

#### 端点附近的能谱形状

$$
\frac{d\Gamma}{dE}\propto w\sqrt{w^2-m_\beta^2}\,\Theta(w-m_\beta),\qquad w=E_0-E
$$

模型内部用自然单位。电子前因子在这个窄窗口里变化很慢，直接固定。模型不考虑分子末态，也不区分三个不同的质量。

#### 统计阈值以上的全部电子

$$
S(d,m_\beta^2)=\frac{1}{3}(d^2-m_\beta^2)^{3/2}\Theta(d-m_\beta)
$$

如果截止完全锐利，相空间的这个原函数就是阈值以上的积分信号。电子方向在接收锥内各向同性，MAC-E 响应再把这个积分对剩余横向能量取平均。

#### 每个电压下的期望计数

$$
\mu_i=t_i[a\,R(d_i+\delta,m_\beta^2,\Delta E)+b]
$$

每个阈值单独测量一段指定的驻留时间。源倍数、本底和端点偏移是干扰参数，和质量一起拟合；宽度固定为分析设置。

#### 对质量做剖面扫描

$$
D=2\sum_i\left[\mu_i-n_i+n_i\ln(n_i/\mu_i)\right]+\frac{(\delta-\delta_{\mathrm{cal}})^2}{\sigma_\delta^2}
$$

对每个非负的质量平方，三个干扰参数都重新拟合。图中等高线标出偏差上升一的位置。它的覆盖率和在物理边界附近的表现都没有标定。

### 常见难点

#### 电压点不是能段

**容易误解** 相邻的电压点，把同一批事件切成了互不重叠的能量段。

**正确理解** 每个电压是一次独立测量：在自己的驻留时间里统计所有超过阈值的电子，得到一个独立的泊松计数。

#### 等高线不是发表的质量上限

**容易误解** 阴影区间的置信覆盖率是有保证的。

**正确理解** 这里只扫描非负的质量平方，标定惩罚也是假定的。模型没有构造标定过的置信区间，也不含真实的分子和仪器系统误差。

### 动手实验

1. 01

   #### 扫描端点

   选择端点，用方向键逐个查看截止点。

   **你会看到：** 每个电压统计阈值以上的全部电子，各自的驻留时间不同。

2. 02

   #### 看清装置

   在剖面、侧视、分析面和探测器几个视角之间切换。

   **你会看到：** 沿磁场方向能量不够的电子，在分析面被挡回；通过的电子由下游探测器计数。

3. 03

   #### 只改分析，不改数据

   不重新采集，只改分析采用的透射宽度和端点标定不确定度。

   **你会看到：** 计数不变，变的是拟合模型和质量剖面。

4. 04

   #### 修正标定陷阱

   选择标定陷阱，再把标定中心移到 0.30 eV。

   **你会看到：** 外部标定和数据里注入的偏移对上以后，同一份数据拟合出的质量也变了。

物理结论

要测中微子的绝对质量，得靠端点处的能谱形状和严格受控的响应；振荡实验只能测到质量之差。

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