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title: "连续性与 Bernoulli 流动台互动实验｜Sandbox Physics"
description: "液体流过管子变细的地方，压力去了哪里？换成了速度。每秒流过的体积处处相同，管子变细，液体就得变快：截面减半，速度加倍。"
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last_modified: "2026-10-27"
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M093 · 流体力学

# 连续性与 Bernoulli 流动台

**液体流过管子变细的地方，压力去了哪里？** 换成了速度。每秒流过的体积处处相同，管子变细，液体就得变快：截面减半，速度加倍。按 Bernoulli 方程，这份速度是拿压力换来的。管子再变粗，压力会回升，但摩擦一路造成的损失补不回来。

调整透明 Venturi 管的形状，移动压力探针，比较能量线和水力线。采集原始的压力和速度读数，由此推算流量和 Darcy 摩擦因子。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

流动是稳态、不可压缩的一维流动，Darcy 因子事先给定，扩散段损失已知。只要某处压力低于汽化阈值，这个单相候选解就不参与输运，也不能采集。

物理教程

## 追踪缩颈中的压力与能量

**背景** 液体在恒定重力下稳定地流过管道，按不可压缩的一维流动处理。中心线高度从实验室基准面向上量。

**为什么值得理解** 先弄清管道形状、液体携带的能量和模拟传感器读数之间的关系，再根据拟合曲线下结论。

先抓重点

- **核心问题**: 压力恢复时，能量仍会损失吗？
- **一句话直觉**: 液体在缩颈处用压力水头换来速度；耗散损失让总水头下降。

### 核心数学模型

#### 连续性：每个截面流量相同

$$
Q=A(s)v(s),\qquad A(s)=\pi r(s)^2
$$

每个截面通过的都是同一个规定的体积流量，截面越小，速度越大。

#### 能量线与水力线

$$
\begin{aligned}H(s)&=z(s)+\frac{p(s)}{\rho g}+\frac{v(s)^2}{2g}\\H_{\mathrm{hyd}}(s)&=H(s)-\frac{v(s)^2}{2g}\end{aligned}
$$

压力指表压；入口水头由上游水源给定。

#### 按局部速度计算损失

$$
h_L(s)=f_D\!\int_0^s\!\frac{v(u)^2}{2gD(u)}\,du+K\chi(s)\frac{v_t^2}{2g}
$$

已知的扩散段损失在缩颈之后累积；Darcy 损失按各处的局部直径和速度计算。

#### 由读数推算流量和摩擦

$$
\begin{aligned}\widehat Q&=\frac1n\sum_i A_i v_i\\\widetilde H_i&=b-f_D X_i\end{aligned}
$$

先从测得的总水头里扣掉已知的扩散段损失，再对壁面损失坐标做回归；这个坐标由推算出的流量算出。

#### 检查压力是否高于汽化压力

$$
\min_s\!\left[p_a+p(s)\right]>p_v
$$

压力一旦越过阈值，这个候选解就被拒绝。模型不计算空化之后的流动。

### 常见难点

#### 表压与绝对压力

**容易误解** 表压是负的，液体就流不动。

**正确理解** 先加上环境压力，再和指定的汽化压力比较，而且要检查整条管路。

#### 拟合值是估计

**容易误解** 拟合系数只是参考滑块换了个名字。

**正确理解** 清空记录，估计值就消失了。噪声甚至会给出不合物理的负系数：拟合没有约束，结果不做截断，也不能当作安全认证。

### 动手实验

1. 01

   #### 找到缩颈

   把金色探针手柄拖过缩颈。

   **你会看到：** 速度增大，压力下降；没有损失时，能量线保持水平。

2. 02

   #### 区分压力恢复和能量损失

   选“加入损失”，比较入口、缩颈和出口。

   **你会看到：** 下游压力恢复了，能量线却仍低于入口。

3. 03

   #### 采集读数并推算

   设好“压力噪声上界”，点“采集压力剖面”，再点“导出原始读数”。

   **你会看到：** 压力和速度读数给出流量和摩擦的估计；拟合从不读取参考流量。

4. 04

   #### 试探模型的适用范围

   选“压力边界”，或降低环境压力。

   **你会看到：** 曲线再平滑，也可能低于汽化阈值，这时采集被禁用。

物理结论

压力能恢复，不代表能量也恢复了。整条管路上，液体压力还必须高于汽化阈值，这个解才成立。

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)