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title: "Bell 关联与 CHSH互动实验｜Sandbox Physics"
description: "两站的结果各自看都随机，合起来能超过局域理论的上限吗？能。用纠缠粒子对，CHSH 值可以超过局域上限二，最高到二倍根号二，单看每一站的结果却仍然随机。"
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last_modified: "2026-10-27"
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Q041 · 单看随机，合看关联

# Bell 关联与 CHSH

**两站的结果各自看都随机，合起来能超过局域理论的上限吗？** 能。用纠缠粒子对，CHSH 值可以超过局域上限二，最高到二倍根号二，单看每一站的结果却仍然随机。证据要站得住，测量设置得随机选，每次试验连同丢失的都得算进去。

转动两台偏振分析器，四种设置组合都采集，比较纠缠光子和局域模型，漏检也留在数据里。再用源、切换和探测的时间戳检查一个理想的事件就绪实验；这项检查不会从 Bell 数据里剔除任何试次。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

这是理想的双 qubit 模拟，另外假设源就绪信号不破坏光子，光学延迟也没有损耗。只用符合计数的统计要依赖公平采样；全部试次的估计保留每次漏检，一律记为正结果。时序单独检查，从不决定哪些试次计入。误差范围只对固定数量的试次成立，边看数据边决定何时停止就不适用。这个模拟不能认证真实的无漏洞 Bell 实验。

你的探测记录给出的证据

模拟采集

## 四组关联，一个 Bell 和

采集事件后查看。

橙色：符合对的有符号项。蓝色：所有预告试次，漏检固定记为正结果。第四项以负号进入和。

符合对：有符号和及保守 95% 范围

$\text{—}$

全部试次：有符号和及保守 95% 范围

$\text{—}$

完成整个扫描或采齐四组设置后，才会给出推断。

查看分组计数与逐次记录

完整记录中的四种设置组合

| 设置 | 全部 / 符合 | 联合计数：正正、正负、负正、负负 | 关联 |
| --- | --- | --- | --- |

设置与结果能否保持类空间隔？

时序是独立的检验

## 保留全部试次，检查光锥。

这是一个理想协议：光源发出一个无损的“就绪”信号，确认光子对已产生，但不测量任何一个被检验的光子。这个器件是假设出来的，不是普通的光子对符合预告，也不是 Hensen 的装置。两条理想无损的光学延迟线让光子等待，好留出就绪广播和本地切换的时间。源位于两站中点；时间从发射时刻算起，单位纳秒，位置单位为米。

光源只在开头固定的 100 ns 内接受就绪信号；截止之后，“是否接受”的标记以光速传到两站。哪些试次被接受，在两站重新选择设置之前就已确定。没有信号或信号迟到的尝试记为被拒绝，但仍保留在记录里。所有被接受的试次，包括漏检和时序失败的，都计入同一个全部试次 Bell 和，不按时序筛选。

两站距离 (m) 300 额外光学延迟 (ns) 350 就绪信号后选择延迟 (ns) 40 测量轴切换时间 (ns) 20 有界物理抖动 (ns) 2 每个时钟不确定度 (ns) 2 每站位置误差界 (m) 0.2 源就绪概率 0.7 源就绪延迟 (ns) 50

每臂的名义光程等于两站距离的一半，再加上光速乘以额外延迟。延迟线理想无损，群速度等于真空光速。延迟会受到有界抖动的扰动，算出的等待时间若为负，就取为零。光子如果在所需测量轴稳定之前到达，会被快门挡住。时钟误差和位置误差按最坏情况的标定界处理，与物理抖动分开计算。

尚未采集。Bell 测量轴、源模型、效率和种子沿用上方控件。

远端选择与整个结果窗口之间的最小余量

$\text{—}$

最小本地切换截止余量

$\text{—}$

全部接受试次，漏检固定赋值

$\text{—}$

每臂名义光程

$\text{—}$

采集记录后，就能检查时间先后和类空间隔的余量。

> 从记录生成的时空图，旁边表格含相同时间戳。

图示：橙色为光路，灰色为接受广播，蓝色为选择事件，绿色为切换完成，红色为完整结果窗。虚线是从选择事件发出的光线。折线光路表示传播所用的时间，不是测得的轨迹。表格用文字列出同一份记录，方便无法查看图形的读者。

最近接受试次的事件时间戳 (ns)，源位置为零米

| 事件 | 源 | Alice | Bob |
| --- | --- | --- | --- |

最近 10 次尝试；导出保留全部尝试和时间戳

| 尝试 | 接受 | 就绪 (ns) | 设置 | 结果 / 漏检 | 时序检查 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |

这项检查能说明什么

$m=\frac{\max(0,|x_1-x_2|-2\delta x)}{c}-|t_1-t_2|-2\delta t$

正余量保证误差界内所有事件坐标保持类空间隔。本地切换还必须单独在光子到达前完成。远端选择检查覆盖固定 10 ns 结果窗的两个端点，包括无点击试次。模型把选择视为瞬时事件。输入独立仍是明确的伪随机源假设：选择发生在源广播后，并不与发射保持类空间隔。

给全部试次赋值，就不必丢掉漏检；但能否违背 Bell 不等式，仍取决于探测效率、设置是否独立，以及事先定好的试次协议。上方只用符合对的证据，需要公平采样假设。时序标志只用于诊断，从不用来筛选试次。显示的 Bell 和只是描述统计；反复暂停、继续或随时停下，都得不到随时有效的显著性检验。没有模拟设备记忆、物理随机源标定、相对论时钟网络，也不提供真正的无漏洞认证。

[Hensen et al. (2015)](https://arxiv.org/abs/1508.05949) · [Shalm et al. (2015)](https://arxiv.org/abs/1511.03189) · [Giustina et al. (2015)](https://arxiv.org/abs/1511.03190)

物理教程

## 检验联合记录，而不是某一次结果

**背景** Bell 对里的每个光子单看都给出完全随机的结果，两边放在一起却可以高度相关。每站从两个偏振轴里选一个，四种设置组合合起来算出 CHSH 统计量。

**为什么值得理解** 有了具体的局域模型，局域界就不再抽象。它的两站共享一个随机角度，但哪一站的输出都不看对方的设置。这样的模型在单组设置上可以和量子预测一致，四项加起来却不同。

先抓重点

- **核心问题**: 把漏检留下来而不是丢掉，结论会有什么不同？
- **一句话直觉**: 每次独立随机地选设置，保留每个预告过的试次，再用两种方法算 Bell 和：一种只用符合计数，一种用全部试次、把漏检记为固定结果。

### 核心数学模型

#### 制备态与测量轴

$$
\rho=v|\Phi^+\rangle\langle\Phi^+|+(1-v)I_4/4,\quad |\Phi^+\rangle=(|HH\rangle+|VV\rangle)/\sqrt2
$$

偏振轴用实际角度表示，单位是度；转半圈回到同一个设置。换到 Bloch 球上，角度要翻倍。

#### 联合概率与边缘分布

$$
P(r,s|a,b)=\frac{1+rs\,v\cos[2(a-b)]}{4},\quad P(r|a)=P(s|b)=\frac12
$$

每个结果只有正负两种。转动远端的分析器，会改变联合统计，但不会改变本站的理想概率。模型里没有任何超光速传信的操作。

#### 四项 Bell 和

$$
S=E_{00}+E_{01}+E_{10}-E_{11},\quad |S|_{\mathrm{local}}\le2,\quad |S|_{\mathrm{quantum}}\le2\sqrt2
$$

默认偏振设置达到量子力学允许的最大值。图中第四项先取负号，再加进总和。

#### 局域模型的响应规则

$$
A_x(\lambda)=\operatorname{sgn}\cos[2(a_x-\lambda)],\quad B_y(\lambda)=\operatorname{sgn}\cos[2(b_y-\lambda)]
$$

共享角度均匀随机，和设置无关。按设定的比例，有一部分试次两站改为各自给出独立的随机结果。任何一张确定的响应表，Bell 和都只能是正二或负二。

#### 计数与保守范围

$$
\widehat E=\frac{n_{++}+n_{--}-n_{+-}-n_{-+}}{n},\quad r_S=\sum_{x,y}\sqrt{\frac{2\ln160}{n_{xy}}}
$$

用联合界把四个 Hoeffding 范围合在一起，适用于试次数固定的数据。这个范围偏保守；如果反复查看数据、自己挑时机停止，它就不再成立。任何一组设置没有数据时，不给出估计。

### 常见难点

#### 关联传不了消息

**容易误解** Bob 一转轴，Alice 那边随机结果的分布就该跟着变。

**正确理解** 变的只是两站之间的关联。理想情况下，每站每种结果仍各占一半；要看出变化，必须把两站的结果放在一起比。

#### 一个局域模型代表不了全部

**容易误解** 超过图中的局域曲线，就证明了 Bell 违背。

**正确理解** 只要设置独立选取，局域界对所有局域响应表都成立。图中的模型只是一个例子；真正的检验，要拿测量值和它的不确定性去和这个界比。

#### 模拟器堵不上真实实验的漏洞

**容易误解** 统计量超过界，就认证了一次真实的无漏洞实验。

**正确理解** 时序协议用保存的时间戳，检查一个设定好的理想几何。设置独立、源预告不破坏光子、时钟误差界，这些仍是假设。设备记忆、物理随机数发生器的标定和真实探测器的验证都没有包含在内。

### 动手实验

1. 01

   #### 先单看每一站

   固定一组设置，逐对采集，分别查看两站的结果。

   **你会看到：** 每站正负结果出现的次数越来越接近。两站结果一致的比例，取决于两个轴的夹角。

2. 02

   #### 采集四种设置

   先预测，再采集四组设置，查看带符号的各项和原始 CSV。

   **你会看到：** 设置随机选取，与源无关。总和只用实际采到的结果计算，不读取模型参考。

3. 03

   #### 使用具体局域对照

   选择局域响应模型，重新采集四组设置。

   **你会看到：** 期望值始终在局域界以内。样本有限时，估计值可能碰巧越过界；保守范围能看出这种不确定性有多大。

4. 04

   #### 看清公平采样的假设

   试试不完美的探测，比较只用符合对的估计和全部试次的估计。

   **你会看到：** 前者丢掉漏检，假定剩下的是公平样本。后者保留每个预告试次，把漏检一律记为正结果；损耗越大，它的违背越弱。

5. 05

   #### 检查事件就绪的时序

   打开时序协议并采集尝试，再比较两站离得太近、切换太晚和光学延迟过长的情况。暂停后保存已采的部分，再接着采集。

   **你会看到：** 源就绪信号不破坏光子、延迟线无损，都是理想假设。哪些试次计入，在选设置之前就定了。时间戳检查看切换是否赶在截止前完成，并对照远端完整的结果窗口；Bell 分母里的试次一个也不剔除。

物理结论

用四组随机选取的设置来检验，损耗留在数据里，别把理想量子极限当成有限样本的证据。

## 相关实验与文章

量子物理证据 · 阅读路径

### Bell 检验与光子信息

这条阅读路径里用到本实验的文章，后面跟着它们推荐的其他实验。

1. [文章 **Bell 检验怎样辨认量子关联**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/quantum-evidence/bell-tests-correlations-loopholes/)
2. [实验 **量子态与过程层析** 用测量结果重建量子态](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-state-process-tomography/)
3. [实验 **量子纠错与错误综合征** 看量子纠错和 Bell 检验有什么不同](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-error-correction/)
4. [文章 **Freedman 和 Clauser 用钙原子检验 Bell 不等式**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/quantum-evidence/freedman-clauser-coincidence-normalization/)
5. [文章 **Aspect 在光子飞行途中切换分析器**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/quantum-evidence/aspect-switching-spacetime-records/)
6. [文章 **就绪信号让每次 Bell 试验都有着落**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/quantum-evidence/event-ready-bell-trials-finite-statistics/)
7. [实验 **量子态传递与纠缠交换** 比较有条件的协议运行](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-teleportation/)
8. [文章 **光子 Bell 检验怎样计入没响的探测器**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/quantum-evidence/photon-bell-losses-optical-trials/)
9. [文章 **三个光子的 GHZ 关联为何难倒预写的答案**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/quantum-evidence/ghz-parity-three-photon-records/)
10. [实验 **三光子 GHZ 关联台** 采集三光子符合事件，检验 GHZ 奇偶关联](https://sandboxphysics.com/zh/labs/three-photon-ghz-correlations/)
11. [文章 **1997 年光子实验怎样转移量子态**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/quantum-evidence/quantum-teleportation-conditional-records/)
12. [文章 **后来的测量怎样给早先的光子结果分组**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/quantum-evidence/delayed-choice-swapping-sorted-records/)
13. [实验 **路径标记与量子擦除** 把同一批探测结果分成互补的两组](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-eraser/)
14. [文章 **从已标定的计数重建光子态**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/quantum-evidence/photon-tomography-counts-physical-states/)
15. [实验 **Homodyne 量子态重建** 用 homodyne 测量重建光场的量子态](https://sandboxphysics.com/zh/labs/homodyne-quantum-tomography/)

量子与场 · 入门路径

## 从一次测量开始

先预测结果，再数一数实际测到了什么。从一个量子比特出发，一路走到波包、束缚态和双光子干涉。

[从这里开始 → **量子态与 Born 测量** 先预测一个概率，转动分析器，再拿预测和多次测量得到的频率比一比。 观察 · 15 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/qubit-state/)

1. [1 量子态与 Born 测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/qubit-state/)
2. [2 Stern–Gerlach 顺序测量台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/stern-gerlach-sequence/)
3. [3 波包传播与不确定性](https://sandboxphysics.com/zh/labs/wave-packet-uncertainty/)
4. [4 量子谐振子态工作台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-harmonic-oscillator/)
5. [5 路径标记与量子擦除](https://sandboxphysics.com/zh/labs/quantum-eraser/)
6. [6 Hong–Ou–Mandel 两光子干涉](https://sandboxphysics.com/zh/labs/hong-ou-mandel/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/quantum/#starter-path)