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title: "梁弯曲实验室互动实验｜Sandbox Physics"
description: "测出梁弯了多少，能推出材料的刚度吗？能，只要还在线性范围内。"
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last_modified: "2026-10-27"
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M025 · 结构力学

# 梁弯曲实验室

**测出梁弯了多少，能推出材料的刚度吗？** 能，只要还在线性范围内。这时挠度由支承方式、截面尺寸、载荷和弹性模量决定。支承和截面已知，画出挠度随载荷的变化，从斜率就能算出弹性模量。

改变支撑方式，在实心和空心矩形截面之间切换。读出剪力、弯矩、曲率和边缘应力，再用测到的挠度反推弹性模量。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型是线弹性、准静态的。位移放大显示，读数仍是真实的物理值。模拟传感器的读数和模型参考值分开列出。强度限值只是理想化的初步筛查，不是设计认证。

物理教程

## 支撑会改变整条梁的弯曲场

**背景** 载荷加得很慢，惯性可以忽略。

**为什么值得理解** MIT 材料力学讲义从同一套力与能量平衡出发，推导节点平衡、轴向弹性和 Euler–Bernoulli 弯曲。

先抓重点

- **核心问题**: 测出梁弯了多少，能推出材料的刚度吗？
- **一句话直觉**: 几何决定力怎样传递，截面和模量决定结构受力后变形多少。

### 核心数学模型

#### 弯矩与曲率

$$
EI\,v^{\prime\prime}(x)=M(x)
$$

向上位移为正。正弯矩让上缘受压、下缘受拉。

#### 截面惯性矩与纤维应力

$$
I=\frac{bh^3-b_i h_i^3}{12},\qquad\sigma_x=-\frac{My}{I}
$$

实心截面没有内矩形。截面高度沿竖直方向，宽度沿纵深方向。

#### 均布载荷与集中力处的跳变

$$
M^{\prime}=V,\quad V^{\prime}=-q,\quad V(a^+)-V(a^-)=-P
$$

向下的集中力让剪力跳变；弯矩、斜率和位移仍然连续。

#### 边界条件很关键

$$
v(0)=v(L)=0\quad\text{or}\quad v(0)=v^{\prime}(0)=0
$$

第一组是简支梁，第二组是左端固定的悬臂梁。自由端除了端部的外载荷，弯矩和剪力都为零。

#### 由测得的斜率反求模量

$$
v_p=\alpha P+\beta,\qquad\widehat E=\frac{C_{\mathrm{geometry}}}{\widehat\alpha}
$$

拟合模拟得到的原始挠度。已知几何给出单位模量下的柔度；截距不固定，用来吸收均布载荷带来的固定偏移。

### 常见难点

#### 画面上的弯曲被放大了

**容易误解** 从弯得很明显的装置上，可以直接看出真实位移。

**正确理解** 看读数或定量曲线。三维放大倍数只改变显示效果。

#### 红色超限不是坍塌预测

**容易误解** 超出理想限值的杆或梁，仍然服从这个线性模型。

**正确理解** 红色的解只是外推；模型没有包含塑性流动和屈曲后的行为。

#### 模量来自数据

**容易误解** 拟合出的模量只是照搬参考滑块的值。

**正确理解** 清空观测，估计值就消失了。多采集几个载荷，再改变噪声，看看推断得好不好。

### 动手实验

1. 01

   #### 改变传力路径

   比较“简支梁”和“悬臂端载”。

   **你会看到：** 反力和内力一起变化。

2. 02

   #### 移动载荷与测点

   拖动装置下方两个彩色测点手柄。

   **你会看到：** 测点跟着真实挠度走；移动测点会清空对不上的观测。

3. 03

   #### 测量材料

   点“采集九级载荷”，加入有界的传感器噪声，再导出原始读数。

   **你会看到：** 斜率给出模量，残差反映传感器的散布。

4. 04

   #### 检验适用边界

   试试“矩形管”，再选“短梁边界”。

   **你会看到：** 应力低，也不会消除剪切变形近似的警告。

物理结论

画出来的线性解，只在它的假设成立的范围内可信。

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)