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title: "倾斜弯道与摩擦可行域互动实验｜Sandbox Physics"
description: "这个倾斜弯道允许哪些速度而不侧滑？恰好一个速度下，支持力的向内分量就能完成转弯，无需侧向摩擦。"
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last_modified: "2026-11-04"
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M018 · 什么条件下能够沿圆周运动

# 倾斜弯道与摩擦可行域

**这个倾斜弯道允许哪些速度而不侧滑？** 恰好一个速度下，支持力的向内分量就能完成转弯，无需侧向摩擦。更慢时要靠向上坡的摩擦，更快时要靠向下坡的摩擦。把所需摩擦与随支持力变化的上限比较，就能求出可行区间；超出区间，低速起初向内下滑，高速起初向外上滑。

抬高弯道外侧，拖动车辆改变半径。找出无需摩擦的速度、圆周运动可行区间，以及超出摩擦能力后的初始侧滑方向。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型假设

这里计算锥形环路上的理想质点受力，不能用于道路设计或驾驶建议。半径量到道路中心线，外缘抬高，摩擦力沿坡向外上方为正。车体放大两倍，受力作用于中心线参考点；忽略车身高度、轮载、力矩平衡、侧翻、轮胎及悬挂动力学。支持力与实际摩擦力首尾相接，浅绿色箭头是二者之和，并非第三个接触力。所有力箭头与库仑锥使用同一线性自适应比例。静摩擦与刚开始滑动时的摩擦采用同一个理想系数。超出摩擦限值后暂停圆周预览，红箭头只表示初始沿坡加速度，不积分后续侧滑轨迹；此时回放仅用于查看试算位置。速度上界无穷大只是理想定律的数学分支，不代表真实车辆能力。调整参数时保留角位置并重新计时，不计算调整过程。

物理教程

## 一个倾角，对应一段可行速度

**背景** 路面倾斜后，支持力有了向内的分量。恰好一个速度下不需要侧向摩擦；换个速度，摩擦便改变方向，补足受力平衡中缺少的部分。

**为什么值得理解** OpenStax《大学物理》第一卷第六章第三节推导无需摩擦的倾斜弯道；MIT Russ Tedrake 的 Manipulator Control 讲义给出这里使用的库仑接触力锥约束。

先抓重点

- **核心问题**: 这条理想路面允许哪些速度，而不发生侧滑？
- **一句话直觉**: 所需摩擦不超过随支持力变化的上限，速度才可行。过慢与过快，初始侧滑方向相反。

### 核心数学模型

#### 先定义接触方向

$$
a_c=v^2/R,\quad N=m(g\cos\beta+a_c\sin\beta),\quad f_{\rm req}=m(g\sin\beta-a_c\cos\beta)
$$

外缘为上坡方向；摩擦向外上坡为正，支持力向内上方。所有力对应道路中心线上的质点。

#### 不需要摩擦的速度

$$
v_0=\sqrt{Rg\tan\beta},\qquad |f_{\rm req}|\le\mu N
$$

接触锥的半角为摩擦系数的反正切。支持力与平移后的摩擦力首尾相接，使用同一个线性比例。

#### 下界与有限上界

$$
v_{\min}^2=Rg\max\!\left(0,\frac{\sin\beta-\mu\cos\beta}{\cos\beta+\mu\sin\beta}\right),\qquad v_{\max}^2=Rg\frac{\sin\beta+\mu\cos\beta}{\cos\beta-\mu\sin\beta}
$$

上界公式只适用于分母为正；否则理想库仑模型没有有限上界，不能解释为真实车辆的速度能力。

#### 超过摩擦能力以后

$$
f=\operatorname{clip}(f_{\rm req},-\mu N,\mu N),\qquad \ddot s=(f-f_{\rm req})/m
$$

沿坡坐标向外上坡为正。这是沿坡速度为零瞬间的加速度，静摩擦与初始滑动摩擦共用同一个理想系数。预览暂停，不计算后续侧滑轨迹。

### 常见难点

#### 摩擦可以向两个方向

**容易误解** 转弯时摩擦总指向圆心。

**正确理解** 低速时，重力倾向让物体沿坡下滑，需要向上坡的摩擦；高速时，所需摩擦则向内下坡。

#### 接触合力不是多出来的力

**容易误解** 支持力、摩擦力和接触合力是三个独立的力。

**正确理解** 浅色箭头只是两个接触力的矢量和，再加一次重力便得到合力。

### 动手实验

1. 01

   #### 找到无需摩擦的转弯

   从“不需要侧向摩擦”开始，打开“接触处剖视”。

   **你会看到：** 支持力独自提供竖直支撑和向心加速度。

2. 02

   #### 分别越过上下界

   比较“太慢，向内下滑”与“太快，向外上滑”。

   **你会看到：** 预览停止，红箭头表示方向相反的初始沿坡加速度。

3. 03

   #### 在可行域中移动

   点击色图，或用滑块改变倾角与速度。

   **你会看到：** 位置标记、所需摩擦点和解析速度区间一起更新。质量改变力的大小，但在理想速度区间中约掉。

物理结论

向心加速度是各个实际力作用的结果，不是另一个施加的力。理想速度可行域检验的是圆周运动约束，不能给真实道路或车辆定级。

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)