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title: "弹道摆互动实验｜Sandbox Physics"
description: "能从摆升起的高度，算出子弹的速度吗？能，倒着推两步。摆起来的过程能量守恒，摆升高多少，就能算出刚撞完时它有多快。子弹嵌进去那一下会损失动能，但动量守恒，用它就能换算出子弹的速度。要是摆整圈翻了过去，升起的高度就说明不了速度了。"
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last_modified: "2026-10-22"
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M034 · 碰撞 / 反演测量

# 弹道摆

**能从摆升起的高度，算出子弹的速度吗？** 能，倒着推两步。摆起来的过程能量守恒，摆升高多少，就能算出刚撞完时它有多快。子弹嵌进去那一下会损失动能，但动量守恒，用它就能换算出子弹的速度。要是摆整圈翻了过去，升起的高度就说明不了速度了。

弹丸嵌进挂在无质量刚杆下端的摆球。碰撞时水平动量守恒，机械能却有损失；接下来的非线性摆动中机械能守恒，尽管支点一直在施加外力。拟合摄影数据里第一个可分辨的高度峰值，反推弹丸速度，再试试大角度摆动或整周旋转。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

弹丸在最低点理想地瞬时嵌入。物体看作质点，刚杆无质量，摆动无摩擦。整周旋转时，刚杆也始终约束着摆球。入射飞行在画面上做了压缩。非线性运动用四阶积分求解，另有独立的能量检验，并真正用减半的步长重算一遍。七帧局部二次峰值是受采样限制的估计；上升高度小到无法分辨，或者摆球在整周旋转，都不能靠高度反推速度。相机在碰撞后记录十秒。

物理教程

## 两段过程，两种守恒定律

**背景** 弹丸嵌进摆球，是一次强烈的非弹性碰撞。水平动量决定刚碰完的速度，接下来的摆动再把这部分动能变成重力势能。

**为什么值得理解** OpenStax《University Physics》第一卷第 9.4 节讲非弹性碰撞，第 15.4 节讲摆的动力学。本装置把两者结合起来，不用小角度近似，并从摄影数据里测出高度峰值。

先抓重点

- **核心问题**: 碰撞瞬间与刚杆摆动时，分别适用哪一种守恒定律？
- **一句话直觉**: 摆动时支点对杆施加外力。最低点的瞬时碰撞用水平动量守恒，之后的无摩擦摆动用机械能守恒。

### 核心数学模型

#### 碰撞瞬间的动量

$$
mu=(m+M)V,\qquad Q_{\mathrm{impact}}=\frac12\frac{mM}{m+M}u^2
$$

嵌入时机械能有损失。水平动量关系用在最低点接触的那一瞬间。

#### 刚杆摆的完整方程

$$
\ddot\theta=-\frac gL\sin\theta,\qquad E=\frac12(m+M)L^2\dot\theta^2+(m+M)gL(1-\cos\theta)
$$

保留精确的正弦项，就能处理大角度摆动。整周旋转时，刚杆也始终把摆球约束在圆周上。

#### 由测到的转折高度反推速度

$$
\widehat u=\frac{m+M}{m}\sqrt{2g\,\widehat h},\qquad\dot\theta(t_{\mathrm{peak}})=0
$$

高度取自峰值附近七帧的局部二次拟合，不是用能量算出的预测值。有限采样和噪声都可能让它偏离。

#### 转过顶点后，光看高度就不够了

$$
V\ge2\sqrt{gL}\quad\Longrightarrow\quad h_{\max}=2L\ \text{does not uniquely identify }u
$$

达到或越过分界轨道后，找不到能确定速度的有限首个转折点，仪器就不做反演。

### 常见难点

#### 碰撞时机械能不守恒

**容易误解** 入射的动能全部变成了上升的高度。

**正确理解** 嵌入先消耗掉一部分能量，只有碰后剩下的动能用于摆动。

#### 摆动时动量会改变

**容易误解** 摆球在整个摆动中保持水平动量。

**正确理解** 支点和重力都是外力，碰撞时用的动量关系不能沿用到整个摆动。

#### 最高点不总是转折点

**容易误解** 任何最高点都能对应唯一的入射速度。

**正确理解** 整周旋转的摆球带着速度越过顶部，光看高度不够。

### 动手实验

1. 01

   #### 测量第一次摆动

   选择“实验室入射”，点“记录高度轨迹”，把反推的速度和参考入射速度比较。

   **你会看到：** 受噪声和采样影响，局部拟合的结果可能和参考值略有出入。

2. 02

   #### 看两段过程

   重播碰撞过程，再拖动进度看摆动。

   **你会看到：** 碰撞热在接触瞬间跳升；摆动中，动能和势能来回转换。

3. 03

   #### 离开小角度极限

   选择“大角度非线性摆动”，缩短摆杆。

   **你会看到：** 用完整的正弦方程，摆动能量依然守恒，直到运动达到整周旋转的边界。

4. 04

   #### 检验能否反推，以及积分是否准确

   试试“整周旋转”“上升高度低于噪声”、低帧率和更小的最大步长。

   **你会看到：** 无法反推时，仪器会直接说明；能量偏差和步长减半的结果用来检验数值轨迹。

物理结论

反推出的速度要成立，需要弹丸确实嵌入、装置经过标定、转折点能分辨出来。摆杆一旦整周旋转，不同的入射速度都会到达同一个最高点。

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)