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title: "原子力显微镜互动实验｜Sandbox Physics"
description: "扫描到的凸起，来自样品、探针形状，还是反馈误差？AFM 图像记录扫描器为维持力信号而作的移动。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/labs/atomic-force-microscope/"
last_modified: "2026-11-04"
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IN28 · 用力跟随表面

# 原子力显微镜

**扫描到的凸起，来自样品、探针形状，还是反馈误差？** AFM 图像记录扫描器为维持力信号而作的移动。有限针尖会把窄凸起扫宽，压入会降低表观表面，反馈追不上又会留下跟踪误差。用已知标准校准，再比较不同扫描速度，有助于区分这些影响。

采集分区探测计数、扫描命令与力曲线，再由校准后的反馈记录重建表观高度。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

### 凸起为什么变宽了？

拖动探针可移动扫描路径。改变针尖、力设定或工作方式后，重新采集标准。

表观高度跨度 **$0\,\mathrm{nm}$**

挠度跟踪均方根 **$0\,\mathrm{nm}$**

校准刚度 **$0.05\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{-1}$**

独立台阶核查误差 **$0\,\mathrm{nm}$**

工作方式 反馈带宽 $B/\mathrm{Hz}$ $40$ 指令行扫描率 $f_{\mathrm{line}}/\mathrm{Hz}$ $10$ 已知针尖半径 $R/\mathrm{nm}$ $20$ 扫描路径中心 $y_c/\mathrm{nm}$ $0$ 排斥力设定值 $F_{\mathrm{set}}/\mathrm{nN}$ $2$

样品、方向与采集

实际台阶高度 $h/\mathrm{nm}$ $20$ 实际约化模量 $E^*/\mathrm{GPa}$ $1$ 扫描方向 $\theta/{}^{\circ}$ $0$ 纳米几何显示倍率 $G$ $100$ 采集种子 $n$ $2801$ 光电子计数噪声

实际样品控制量只生成相互作用，推断读取计数和命令。改变显示倍率不改变物理观测。周期力为固定四百赫兹的低频方式，受接触占空比与带宽范围限制。

模型假设

矩形欧拉梁携带球形尖端与圆锥侧壁，在台阶和高斯凸起上扫描。几何膨胀只用于前向接触包络，不是采集图像。局部排斥接触采用无黏附弹性 Hertz 模型，压入须小于尖端半径十分之一；定量力曲线在平坦区域采集。接触反馈控制挠度，另设四百赫兹的离共振周期力教学模式，控制每周期的探测峰值挠度，不等同于共振振幅调制 AFM。该模式要求驱动相对固有频率足够低且接触占空比适用，并有独立惯性模型比较。省略黏附、跳入接触、摩擦、塑性、黏弹性、流体阻力、高阶梁模态及扫描器迟滞。光杠杆从同一百二十八段静态梁表面作镜面反射，再照到有限分区高斯光探测器。光电子计数采用泊松或高计数取整高斯抽样，各次采集种子独立。刚性挠度标准、已知参考悬臂、平面与台阶扫描分别校准读出、刚度和扫描器；光学、力与台阶核查单独保留，不参与校准。图像像素只平均保留的反馈命令，因此仍含压入、探针展宽和跟踪误差。力曲线模量以已知半径和固定观测校准为条件，局部拟合误差省略校准、针尖、材料定律与模型不确定度。带时钟的命令、计数、标准定义和配置均可导出。纳米几何与弯曲放大，光程和探针高度为示意，选取的周期记录慢放；显示变换不改变物理探测计数或推断。

### 保留的反馈扫描

校准、力推断与保留记录

独立挠度核查误差 $\delta d/\mathrm{nm}$ **$0$**

独立力核查相对误差 $\delta F/F$ **$0$**

校准扫描器比例 $s_z$ **$0$**

条件约化模量 $E^*/\mathrm{GPa}$ **$0$**

接近回撤相对差 $\delta E^*/E^*$ **$0$**

观测接触占空比 $D$ **$0$**

独立样品参考

保留的反馈行与独立模型样品、有限针尖包络比较。这两条参考都不提供图像像素或材料拟合值。

独立原始校准与测量采集

| 采集 | 帧数 | 光电子 | 种子 |
| --- | --- | --- | --- |

不可变的保留扫描

| 记录 | 方式 | 校准 | 图像可推断 |
| --- | --- | --- | --- |

已知刚性挠度校准分区探测器的非线性信号，参考悬臂校准刚度，平面与台阶校准高度。挠度、力与台阶核查单独保留。力曲线从观测命令和挠度拟合约化模量与未知接触起点，以针尖半径已知为条件。

表观高度仍含压入与反馈滞后。局部 Hertz 回归将力轴视为精确值，省略校准与计数相关性、半径、刚度标准和材料模型的不确定度，只用于平坦无黏附区域；锐边接触与真实黏附需要更完整的模型。CSV 和 JSON 保留完整命令、计数帧、时钟、标准定义、种子与硬件，单独的 CSV 即可重放推断。

探针沿表面运动产生的横向黏滑，可见 [单接触 AFM 摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/afm-stick-slip-friction/)。

物理教程

## 用控力回路生成高度图

**背景** 尖针压住样品时，像弹簧一样的悬臂会弯曲。激光从梁面反射，梁的斜率便变成分区探测器上的光斑位移。

**为什么值得理解** 扫描器上下移动，让力信号保持稳定。这段移动既受样品影响，也受针尖形状和反馈跟踪能力影响。

先抓重点

- **核心问题**: 扫描到的凸起，来自样品、探针形状，还是反馈误差？
- **一句话直觉**: 先用已知标准校准探测器和扫描器，再把采集高度与同时保留的挠度误差一起比较。

### 核心数学模型

#### 平坦区域的排斥弹性接触

$$
F=kq=\frac{4}{3}E^*\sqrt{R}\,\delta^{3/2}
$$

向上挠度 $q$ 为正，排斥力为 $F$。已知球形尖端半径 $R$，约化模量为 $E^*$，压入量为 $\delta$。Hertz 近似要求弹性、无黏附，且压入远小于针尖半径。

#### 光杠杆的计数信号

$$
u=\frac{C_+-C_-}{C_++C_-}
$$

扣暗后的两个半区光电子计数为 $C_+$ 和 $C_-$。已知挠度独立校准这个非线性分区差，显示倍率不参与物理计数。

#### 离散积分反馈

$$
z_{n+1}=z_n+g(q_{\mathrm{obs},n}-q_{\mathrm{set}})
$$

扫描命令 $z$ 向上增加；观测挠度过大时，抬高探头以减小负载。增益 $g$ 由带宽和更新周期决定；周期力方式读取一个离共振周期内的观测峰值。

#### 先有有限针尖接触几何

$$
h_{\mathrm{tip}}(x,y)=\max_{a,b}\left[h_s(a,b)-t(a-x,b-y)\right]
$$

未变形样品高度为 $h_s$，针尖相对尖端的高度轮廓为 $t$。前向几何包络决定何处开始接触，图像像素则另由保留的扫描器命令生成。

### 常见难点

#### 校准尺度以后，还要解释形状

**容易误解** 高度读数校准准确，就已经去掉针尖形状和反馈误差。

**正确理解** 校准确定数值尺度，有限针尖接触、压入与跟踪仍会改变记录位移和未变形表面的关系。

#### 驱动低于共振，还不足以保证每次接触都准静态

**容易误解** 驱动频率低，就可以忽略接触过程中的全部惯性。

**正确理解** 短促接触会让力变化得比驱动周期快。这里还限制接触占空比，并用独立惯性接触计算比较适用参数。

### 动手实验

1. 01

   #### 跟随一个凸起

   保存扫描，在采集高度图与命令挠度图之间切换。

   **你会看到：** 同一次保留扫描给出两个通道；扫描器跟不上时，挠度误差就变大。

2. 02

   #### 换一根针尖

   选择钝探针，或改变半径后重新采集匹配标准。

   **你会看到：** 针尖侧面会在尖端抵达前碰到凸起，于是扫描出的凸起变宽。

3. 03

   #### 让扫描跑到反馈前面

   降低带宽或提高行扫描率，再同独立样品参考比较。

   **你会看到：** 滞后会压低窄凸起的表观高度，也会移动边缘位置；慢扫逐渐接近有限针尖的几何包络。

4. 04

   #### 读一条力曲线

   打开接近回撤数据与校准详情，再试软表面或周期力预设。

   **你会看到：** 平坦处的 Hertz 拟合在半径和观测校准已知的条件下估计约化模量。周期力以低频峰值挠度作反馈；接近回撤曲线本身在关闭周期驱动时采集。

物理结论

AFM 高度图来自校准后的反馈记录；针尖几何、压入与跟踪滞后仍需解释。

## 相关实验与文章

物理仪器怎样测量 · 阅读路径

### 物理仪器怎样测量

这条阅读路径里用到本实验的文章，后面跟着它们推荐的其他实验。

1. [文章 **原子力显微镜扫出的凸起为什么会变宽**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/instruments/atomic-force-microscope/)

场、流体与物质 · 入门路径

## 从电场到电子显微镜

先看懂电场、学会操控带电粒子，再算出电子的波长，用电子束观察晶体和表面。

[从这里开始 → **看见电场** 在偶极子周围移动探针，看电场是不是总指向电势地形的下坡方向。 观察 · 8 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/electric-field/)

1. [1 看见电场](https://sandboxphysics.com/zh/labs/electric-field/)
2. [2 电荷在场中转弯](https://sandboxphysics.com/zh/labs/charged-particle/)
3. [3 电子波长与加速电压](https://sandboxphysics.com/zh/labs/electron-wavelength/)
4. [4 电子衍射与倒空间](https://sandboxphysics.com/zh/labs/electron-diffraction/)
5. [5 TEM 明场、暗场与选区衍射](https://sandboxphysics.com/zh/labs/tem-mode-selector/)
6. [6 SEM 二次电子表面形貌](https://sandboxphysics.com/zh/labs/sem-topography/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/fields-and-matter/#starter-path)