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title: "ARPES 能带与费米面测量互动实验｜Sandbox Physics"
description: "发射角如何揭示电子能带？每个光电子，量出动能和出射角，就能算出结合能和沿表面方向的动量。把计数按能量和角度排成一张图，占据态能带就直接显现出来。图上哪里亮、哪里暗，还和光子能量、温度以及跃迁矩阵元有关。"
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last_modified: "2026-10-25"
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E53 · 电子成像 / 电子谱学

# ARPES 能带与费米面测量

**发射角如何揭示电子能带？** 每个光电子，量出动能和出射角，就能算出结合能和沿表面方向的动量。把计数按能量和角度排成一张图，占据态能带就直接显现出来。图上哪里亮、哪里暗，还和光子能量、温度以及跃迁矩阵元有关。

拖动金色晶体选择能量与动量切面，再保存不同方位的采集。费米能附近的强度逐渐拼成一张图，灰色留出尚未测到的区域。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型假设

能带是方格子上合成的紧束缚能带，谱线用洛伦兹谱权重、费米占据和高斯仪器模糊计算。偏振效应用假定的偶极权重近似。垂直动量按自由电子终态计算，内势假定为 10 eV。样品和接地分析器的功函数都假定为 4.5 eV。动量图直接由已经展宽的角度探测数据重采样得到。费米图对保存的探测样本取能窗内加权平均，灰格表示没有采样；每个能量行按各自的动能换算。入场示例分别模拟 48 个方位，并让偏振随样品共转。手动保存保留当时偏振，不同切面可有不同亮度。强度使用任意单位，没有计数噪声，也未标定为动量面积密度。改变样品、光子能量或仪器响应会开始新扫描。加入层间跃迁后，图内垂直动量随位置变化。装置是教学示意：固定 20 eV 通带能量的轨道用来展示能量色散，透镜传递和角度传输都没有按电场求解。

物理教程

## 发射角如何揭示电子能带？

**背景** 单色光照射晶体，进入分析器的不是光，而是逸出的光电子。透镜保留电子的发射角信息，半球电极按能量把电子分开，二维电子探测器记录一个能量与角度的切面。

**为什么值得理解** 先弄清仪器设置怎样影响测量结果，再去解读样品。

先抓重点

- **核心问题**: 发射角如何揭示电子能带？
- **一句话直觉**: 同时测量能量和发射角，就能重建占据态的谱函数。能带变暗，可能是矩阵元把它压低了；温度升高会把费米边抹宽；换一个光子能量，能测到的动量范围也随之改变。

### 核心数学模型

#### 方位角与费米能窗

$$
\begin{aligned}k_x&=k_\parallel\cos\varphi,\\k_y&=k_\parallel\sin\varphi,\\-\delta E_F&\leq E-E_F\leq\delta E_F\end{aligned}
$$

保存的每个能量行都使用各自动能。动量格显示能窗内采样强度的平均值，权重是每行与能窗的重叠长度。未采样的格保持灰色，缺少的方位不插值补齐。

#### 能量与平行动量

$$
\begin{aligned}E_B&=h\nu-\phi_a-E_{\mathrm{kin}},\\k_\parallel&=\frac{\sqrt{2m_eE_{\mathrm{kin}}}}{\hbar}\sin\theta\end{aligned}
$$

模型假定样品和接地分析器的功函数都是 4.5 eV。发射角从样品表面法线量起；图像的每一行能量用各自的动能换算。光的入射角是另一个独立的几何量。

#### 占据态谱权重

$$
\begin{aligned}I&\propto [|M|^2Af(E,T)]\ast R,\\A&=\frac{\Gamma/\pi}{(E-\varepsilon_{\mathbf k})^2+\Gamma^2},\\R&=R_E\ast R_\theta\end{aligned}
$$

仪器模糊只会抹宽占据态强度，不会移动能带本身。

#### 合成能带与终态

$$
\begin{aligned}\varepsilon_{\mathbf k}&=-2tC-\mu+2t_zD,\\C&=\cos(ak_x)+\cos(ak_y),\\D&=\cos(ck_z)\end{aligned}
$$

跃迁能量为 0.45 eV，面内间距 3.8 埃，层间距 6 埃。垂直动量要依靠自由电子终态假设才能确定。

### 常见难点

#### 能带为什么会变暗

**容易误解** 看不到明亮能带，就说明那个动量没有电子态。

**正确理解** 光电子强度取决于谱权重、占据、偶极矩阵元和分辨率。灰格表示没采到，深色格表示采到了但强度弱，两者都不能证明那里没有能带。保存切面时也会保留当时偏振，偏振变化会改变亮度。

### 动手实验

1. 01

   #### 从切面拼出费米图

   点“新建扫描”，再点“保存切面”。转动“晶体方位”后保存另一条切面；“扫描 48 个方位”可装入完整采集示例。调节“费米能窗半宽”，比较同一组已存图像。

   **你会看到：** 单条狭缝切面留下大片灰格，增加方位才会扩大覆盖。只转动样品会更新当前探测图，保存后才改变费米图；改变样品或仪器条件会开始新扫描。

2. 02

   #### 找到光束与电子

   沿紫色光束找到受光点，再跟随光电子穿过透镜、绕过半球电极。倾转样品时，白色法线转动，透镜轴线保持固定。随后比较清晰切面与权重抑制。

   **你会看到：** 同时测量能量和发射角，就能重建占据态的谱函数。能带变暗，可能是矩阵元把它压低了；温度升高会把费米边抹宽；换一个光子能量，能测到的动量范围也随之改变。

3. 03

   #### 捕捉费米穿越

   捕捉一个费米穿越：动量半高全宽小于每埃 0.025，费米边热展宽小于 0.03 eV，矩阵元权重大于 0.30。然后转动偏振，让能带变暗，但位置不动。

   **你会看到：** 先看数值是否达标，再把仪器视图和数据图对照着看。

4. 04

   #### 改变切面和光子能量

   转动晶体方位改变切面，比较高温展宽与低温目标。加入层间跃迁，再改变光子能量，探索假定的垂直动量选择。

   **你会看到：** 能带是方格子上合成的紧束缚能带，谱线用洛伦兹谱权重、费米占据和高斯仪器模糊计算。偏振效应用假定的偶极权重近似。垂直动量按自由电子终态计算，内势假定为 10 eV。狭缝分析器每次测一个切面，费米图汇总已保存的切面，未采样处留灰。加入层间跃迁后，图内垂直动量随位置变化。

物理结论

同时测量能量和发射角，就能重建占据态的谱函数。能带变暗，可能是矩阵元把它压低了；温度升高会把费米边抹宽；换一个光子能量，能测到的动量范围也随之改变。

场、流体与物质 · 入门路径

## 从电场到电子显微镜

先看懂电场、学会操控带电粒子，再算出电子的波长，用电子束观察晶体和表面。

[从这里开始 → **看见电场** 在偶极子周围移动探针，看电场是不是总指向电势地形的下坡方向。 观察 · 8 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/electric-field/)

1. [1 看见电场](https://sandboxphysics.com/zh/labs/electric-field/)
2. [2 电荷在场中转弯](https://sandboxphysics.com/zh/labs/charged-particle/)
3. [3 电子波长与加速电压](https://sandboxphysics.com/zh/labs/electron-wavelength/)
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5. [5 TEM 明场、暗场与选区衍射](https://sandboxphysics.com/zh/labs/tem-mode-selector/)
6. [6 SEM 二次电子表面形貌](https://sandboxphysics.com/zh/labs/sem-topography/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/fields-and-matter/#starter-path)