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title: "拱的突跳失稳互动实验｜Sandbox Physics"
description: "屈曲的薄条为什么会一下子跳到镜像形状？跳得多快由什么决定？两端夹紧、被推着靠拢的薄条会屈曲成拱，有向上拱和向下拱两个稳定形状。"
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last_modified: "2026-10-31"
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几何弹性 · 突跳

# 拱的突跳失稳

**屈曲的薄条为什么会一下子跳到镜像形状？跳得多快由什么决定？** 两端夹紧、被推着靠拢的薄条会屈曲成拱，有向上拱和向下拱两个稳定形状。向下按中点，力先升后降；等到要拉住薄条才能让它停住时，附近已没有平衡形状，它便一下跳到反向的拱。深拱跳之前先扭成 S 形，浅拱则先被压平。

向下按一条两端夹紧、已经屈曲的薄条的中点。力先升后降；当刀片需要往回拉才能维持时，薄条突跳到反向的拱，随后振荡。力曲线与连续的 Föppl–von Kármán 解对照，突跳和振荡与线性稳定性分析对照。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型假设

薄条服从 Pandey、Moulton、Vella 与 Holmes（EPL，2014）含中线拉伸的动力学梁方程，采用他们的单位：长度以薄条长度计，力以弯曲刚度除以长度平方计，时间以薄条的弯曲时间计。薄条分成 48 段有限差分，两端夹紧且保持水平，端部缩短量固定。刀片是只能推、不能拉的无摩擦点接触。推压是准静态的：每一帧都是中点位于刀片处的平衡态；一旦刀片需要往回拉，薄条就被释放，交给动力学方程。均匀的黏性阻尼不在原文中，用来代表空气和材料损耗。模型不含重力、扭转、薄条宽度和塑性。画布上的挠度按图中标出的倍数在竖直方向放大。

橙色是从上方推、蓝色是从下方推，都在薄条模型上算出；米色虚线是连续解和预测的增长。

更多读数与保存的记录

连续解给出的最大推力 $16.6\,B/L^{2}$

从下方推时的最大推力 $16.5\,B/L^{2}$

线性稳定性给出的增长率（含阻尼） $21.2/t^{*}$

拱的反对称振动（含阻尼） $44.1/t^{*}$

拱的对称振动（含阻尼） $59.5/t^{*}$

未加载时的拱高 $0.0891\,L$

薄条离开刀片时的中点挠度 $-2.19\times10^{-4}\,L$

无阻尼自由振动的相对能量漂移 $5.05\times10^{-6}$

动力学方程的时间步长 $1.29\times10^{-4}\,t^{*}$

JSON 记录包含参数、两次模拟推压及其释放、突跳和振荡数据，并单独列出连续力曲线、线性稳定性速率和文献参考值。

[配套课程：薄结构怎样弯曲、屈曲和突跳](https://sandboxphysics.com/zh/stories/geometric-elasticity/)

物理教程

## 屈曲的薄条怎样突跳？

**背景** 发夹、弹跳玩具、捕蝇草和许多开关，都用到一片有两个稳定形状的壳或薄条。把它从一个形状推向另一个，结尾总是一次快速的跳变，叫作突跳。

**为什么值得理解** 刀片移动得很慢，薄条却跳得很快。突跳并不是因为推得更用力；它恰恰发生在力已经降到零的地方。

先抓重点

- **核心问题**: 屈曲的薄条为什么会一下子跳到镜像形状？跳得多快由什么决定？
- **一句话直觉**: 在位移控制下，薄条沿着一支平衡形状走，直到这支平衡失去稳定。这时最近的稳定形状就是反向的拱，薄条以它最后所处形状的不稳定模态决定的速率跌过去。

### 核心数学模型

#### 含中线拉伸的动力学梁方程

$$
\frac{\partial^{2}w}{\partial t^{2}}+\gamma\,\frac{\partial w}{\partial t}+\frac{\partial^{4}w}{\partial x^{4}}+\tau^{2}\,\frac{\partial^{2}w}{\partial x^{2}}=f\,\delta(x),\qquad -\tfrac{1}{2}<x<\tfrac{1}{2}
$$

Pandey 等（2014）的式 1，另加了阻尼 $\gamma$。长度以 $L$ 计，力以 $B/L^{2}$ 计，时间以 $t^{*}=L^{2}(\rho_{\mathrm{s}}hb/B)^{1/2}$ 计。夹具在两端保持 $w=0$ 和 $\partial w/\partial x=0$。

#### 端部缩短产生的压力

$$
S\,\tau^{2}=d-\frac{1}{2}\int_{-1/2}^{1/2}\Bigl(\frac{\partial w}{\partial x}\Bigr)^{2}dx,\qquad S=\frac{h^{2}}{12L^{2}}
$$

中线的胡克定律（Pandey 等，式 2）沿薄条积分。可拉伸度 $S$ 比较弯曲与拉伸；响应的形态只由比值 $d/S$ 决定。

#### 约束度的三个区间

$$
\Bigl(\frac{d}{S}\Bigr)_{\mathrm{Euler}}=4\pi^{2}\approx 39.48,\qquad \Bigl(\frac{d}{S}\Bigr)_{\mathrm{twist}}=\tau_{\max}^{2}\approx 80.76
$$

低于欧拉值时薄条保持平直。介于两个值之间时，拱先被压平再突跳；高于第二个值时，它先扭成 S 形。$\tau_{\max}\approx 8.99$ 是 $\tan(\tau/2)=\tau/2$ 的根，对应两端夹紧时第一个反对称模态的载荷。

#### S 形分支上的力

$$
f=-207.75\,w_{0},\qquad f_{\mathrm{c}}=-129.53\,\bigl(d-80.76\,S\bigr)^{1/2}
$$

Pandey 等的式 3：薄条扭成 S 形后，力与中点挠度成正比地减小，中点回到零时力也为零。这里重新求解同一组方程，得到 207.745 和 129.530。

#### 突跳增长得多快

$$
\lambda=-\frac{\gamma}{2}+\sqrt{\frac{\gamma^{2}}{4}+\sigma^{2}},\qquad \sigma\approx 24.11\ \text{from the twisted state}
$$

偏离刀片最后所维持形状的小扰动 $a\,e^{\lambda t}$ 满足 $\ddot{a}+\gamma\dot{a}=\sigma^{2}a$。Pandey 等对 S 形状态得到 $\sigma\approx 24.113$；这里 48 段的薄条给出 24.04。

### 常见难点

#### 力最大处并不是突跳处

**容易误解** 刀片推得最用力时，薄条就突跳。

**正确理解** 刀片位置受控时，薄条越过力的峰值后仍然保持平衡形状。只有力降到零时它才突跳，因为再往前，刀片就得往回拉。如果改用固定的重物加载，突跳就会从力的峰值处开始。

#### 速度不只是波速

**容易误解** 突跳的速度就是声波穿过薄条的速度。

**正确理解** 时间尺度是薄条的弯曲时间，而其中的速率由最后一个平衡形状的不稳定模态决定。接近屈曲临界时，这个模态很弱，跳变就慢。

#### 模型省略了什么

**容易误解** 真实的塑料薄条和这里完全一样。

**正确理解** 薄条服从 Pandey、Moulton、Vella 与 Holmes（EPL，2014）含中线拉伸的动力学梁方程，采用他们的单位：长度以薄条长度计，力以弯曲刚度除以长度平方计，时间以薄条的弯曲时间计。薄条分成 48 段有限差分，两端夹紧且保持水平，端部缩短量固定。刀片是只能推、不能拉的无摩擦点接触。推压是准静态的：每一帧都是中点位于刀片处的平衡态；一旦刀片需要往回拉，薄条就被释放，交给动力学方程。均匀的黏性阻尼不在原文中，用来代表空气和材料损耗。模型不含重力、扭转、薄条宽度和塑性。画布上的挠度按图中标出的倍数在竖直方向放大。

### 动手实验

1. 01

   #### 看深拱扭转

   从“深拱先扭成 S 形再突跳”开始，看第一次推压。

   **你会看到：** 力升到约 16.5，接着拱歪成 S 形，力沿直线降到零，同时中点回到夹具的高度。随后薄条突跳，增长率 21.1，线性稳定性给出 21.2。

2. 02

   #### 把拱变浅

   选“浅拱先被压平再突跳”，此时约束度为 60。

   **你会看到：** 拱保持对称，被一直压平。最大推力只有 1.95，突跳从平直的薄条开始，增长率 13.9，预测为 14.0。

3. 03

   #### 接近屈曲临界

   选“刚刚屈曲：慢吞吞的突跳”，约束度 45，刚好高于约 39.5 的欧拉临界值。

   **你会看到：** 跳变的增长率只有 7.18，约为深拱的三分之一。接近临界时，平直状态只是略微不稳定，薄条离开它的速度就慢。

4. 04

   #### 让它振荡

   选“阻尼很小：突跳后久久振荡”。

   **你会看到：** 跳过去之后，反向的拱振荡很多个周期。测得的角频率 46.1，接近拱的第一个反对称振动模态的 44.2。

5. 05

   #### 自己推

   慢慢向下拖上方刀片，再快速向上拖下方刀片。

   **你会看到：** 你的推压在算出的力曲线上画出自己的黄色曲线。不管推得快慢，力一降到零，薄条就离开刀片跳过去。

物理结论

在位移控制下，双稳态薄条在平衡分支失稳处突跳，最后那个形状的不稳定模态决定它跳得多快。

## 相关实验与文章

几何弹性 · 阅读路径

### 几何弹性：薄结构怎样弯曲、屈曲和突跳

这条阅读路径里用到本实验的文章，后面跟着它们推荐的其他实验。

1. [文章 **薄片为什么宁可弯曲，也不肯拉长**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/geometric-elasticity/why-thin-sheets-bend-instead-of-stretch/)
2. [实验 **非欧薄板** 让平的圆盘长成穹顶](https://sandboxphysics.com/zh/labs/non-euclidean-plate/)
3. [文章 **夹紧的薄条在欧拉载荷下屈曲成拱**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/geometric-elasticity/euler-buckling-of-a-clamped-strip/)
4. [文章 **把拱一路按下去，直到它突跳**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/geometric-elasticity/pushing-an-arch-until-it-snaps/)
5. [实验 **Kresling 折纸单元** 按压一个 Kresling 折纸圆筒](https://sandboxphysics.com/zh/labs/kresling-origami/)
6. [文章 **突跳有多快**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/geometric-elasticity/how-fast-a-snap-happens/)
7. [文章 **读懂突跳梁那篇论文**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/geometric-elasticity/reading-the-snapping-beams-paper/)

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)