---
title: "孔径衍射工作室互动实验｜Sandbox Physics"
description: "开孔和同形状的挡板，各自的衍射有什么关系？开孔和同形状的挡板互补：两者的衍射场加起来，正好是没有遮挡时的波，这叫 Babinet 原理。"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/labs/aperture-diffraction-studio/"
language: "zh-CN"
page_type: "lab"
alternate_languages:
  en: "https://sandboxphysics.com/labs/aperture-diffraction-studio/"
last_modified: "2026-10-27"
---

光学 057 · 衍射、Fourier 光学与计算成像

# 孔径衍射工作室

**开孔和同形状的挡板，各自的衍射有什么关系？** 开孔和同形状的挡板互补：两者的衍射场加起来，正好是没有遮挡时的波，这叫 Babinet 原理。除了正前方那一点，两者的远场图样完全一样。圆孔在远场给出 Airy 环；不透明圆盘的阴影正中反而可能出现一个亮点，叫 Arago 亮斑。

画出一个二值孔径，把它的复场传播到三维接收面上。比较狭缝、Airy 环、多边形和字母，把掩膜换成互补形状，看 Arago 亮斑从同一套计算里出现。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型是标量单色的 Fresnel 衍射，入射波是理想的无限大平面波。孔径大小有限，它的互补形状是挡住同样区域的无限大平面。边缘按栅格覆盖率处理并逐格积分，探测器逐点采样。理想远场参考单独显示，显示增益明确标出。纵向布局为对数比例，掩膜和探测面的横向放大倍率不同，支架不参与光学计算。这不是针对真实材料边缘的 Maxwell 求解，也不是带噪声的有限光束实验。

物理教程

## 检验孔径衍射工作室的物理过程

**背景** 孔不会在远处屏上投出自己轮廓的照片。掩膜上每一小块透光区域都在屏上贡献一份复场，互补的两种掩膜按振幅相加：$U_A+U_{1-A}=U_0$。两种掩膜用同一次传播计算，所以探测图始终对应所示的掩膜。

**为什么值得理解** 开孔和同形状的挡板，各自的衍射有什么关系？

先抓重点

- **核心问题**: 开孔和同形状的挡板，各自的衍射有什么关系？
- **一句话直觉**: 先把振幅加起来，再取强度：$I=|U|^2$。圆孔在远场极限下产生 Airy 环；不透明圆盘在近场阴影里却能恢复一个轴上亮点。两者来自不同的场。

### 核心数学模型

#### 从所画掩膜到接收面的 Fresnel 传播

$$
\begin{aligned}U_A(x,y;z)&=\frac{1}{i\lambda z}\iint A(\xi,\eta)\\&\quad e^{i\pi[(x-\xi)^2+(y-\eta)^2]/(\lambda z)}\,\mathrm d\xi\,\mathrm d\eta\\I_A/I_0&=|U_A|^2\end{aligned}
$$

掩膜位于纵向零点，光在真空中向前传播，积分里的坐标都用米。入射振幅为一，只去掉各点共有的纵向相位。编辑器给出二值设计，再栅格化成小单元，每个单元的振幅取面积平均；传播核在每个单元上积分。计算不用周期性 FFT，也不调用预存图案。

#### Babinet 原理对振幅成立

$$
\begin{aligned}U_{1-A}&=1-U_A\\|U_{1-A}|^2&=1+|U_A|^2-2\operatorname{Re}U_A\\|U_{1-A}-1|^2&=|U_A|^2\end{aligned}
$$

设计区域之外，开孔不透光，互补掩膜全透光。没被挡住的无限平面波在整个接收面上场强都是一。因此遮挡物后的总强度一般和开孔后的不同；只有减去背景后的散射部分，才等于开孔场的负值。两张总强度图并不相同。

#### 圆孔与狭缝的理想远场参考

$$
\begin{aligned}I_{\rm circle}/I_0&=\left(\frac{\pi d^2}{4\lambda z}\right)^2\left[\frac{2J_1(q)}q\right]^2\\q&=\frac{\pi d r}{\lambda z}\\r_1&\simeq1.21967\,\frac{\lambda z}{d}\\x_{1,\rm slit}&=\frac{\lambda z}{d}\end{aligned}
$$

圆孔尺寸指直径，绝不是曲率半径。狭缝尺寸指全宽；狭缝长一毫米，因此多出第二个 sinc 因子。金色曲线假设形状理想连续，并取远场极限；青色曲线用栅格化后的 Fresnel 场。多边形尺寸是过各顶点的外接圆直径，字母和手绘图形的尺寸是设计方格的边长。在近场，计算结果不必和金色参考一致。

#### 不透明圆盘后的亮点

$$
\begin{aligned}U_A(0;z)&=1-e^{i\pi a^2/(\lambda z)}\\U_{\rm disk}(0;z)&=e^{i\pi a^2/(\lambda z)}\\I_{\rm disk}(0;z)/I_0&=1,\qquad a=d/2\end{aligned}
$$

这个轴上结果另有独立推导：先对理想圆孔做径向积分，再用 Babinet 原理。它假设无限均匀平面波和标量 Fresnel 衍射。栅格化的数值结果应当自己趋近这个值，不会被直接设成一，也没有另画亮点。真实实验里，有限光束、粗糙边缘、未对准和部分相干都会改变结果。

#### 采样与 Fresnel 近似的适用范围

$$
\begin{aligned}\Delta \xi&=\frac{1.6\,\mathrm{mm}}{256}\\N_d&=\frac{(d/2)^2}{\lambda z}\\\delta\phi_{\max}&\le\frac{\pi r_{\max}^4}{4\lambda z^3}\end{aligned}
$$

Fresnel 数把尺寸当作直径，并不等于每个多边形、狭缝或手绘图形的完整支撑半径。相位误差界限改用完整设计区域和探测窗口的角点。探测窗口随波长、距离和尺寸调整。窗口功率只算有限开孔透过的光，不是无限平面波的总能量。模拟探测器逐点采样，不在像素上积分。栅格收敛和独立极限分别做了检验。

#### 探测图的亮度显示方式

$$
\begin{aligned}B&=\min\!\left(1,\frac{\ln(1+G I/I_0)}{\ln5}\right)\\G&=10^g\end{aligned}
$$

两张探测图用同一个亮度映射。增益不改变原始读数、场值和对数强度轮廓。场景把掩膜和接收面分别放大，光轨按对数刻度画出。计算点是横向窗口上的场采样，窗口大小会自适应；它们不是光子，也不表示光的飞行过程。机械支架不在理想光学模型之内。

### 常见难点

#### 互补掩膜的总强度并不相同

**容易误解** 不透明圆盘要么和圆孔有一样的环纹，要么中心一直是黑的。

**正确理解** 先加复振幅，再取模平方。没被挡住的背景光和圆盘的散射光发生干涉，能在几何阴影里的轴上重新亮起一个点。

### 动手实验

1. 01

   #### 场景 1：绘制孔径

   先选圆孔，把直径调小。再旋转狭缝或字母，对照掩膜和完整探测图。

   **你会看到：** 孔越小，远场图案越宽，而不是缩成一张更小的孔形照片。

2. 02

   #### 场景 2：Babinet 互补

   画一个开孔，松开后开始传播计算。波长和距离保持不变，换成互补的遮挡物。

   **你会看到：** 换成互补遮挡物后，总强度变了；可减去背景后，它的散射强度和开孔相同。

3. 03

   #### 场景 3：Poisson–Arago 亮斑

   选择 Arago 亮斑。在掩膜视图里看不透明圆盘，在接收面视图里看中央亮点。

   **你会看到：** 在理想平面波模型下，算出的圆盘阴影中心强度趋近于一。

物理结论

同一个形状，做成开孔或遮挡物，遵守同一条复场传播规律，得到的总场却不同。解读亮度之前，先看模型和原始数据。

## 相关实验与文章

继续探索

### 孔径、传播与测量

依次改变缝数、相干性、孔径形状或传播距离，比较各自的作用。

1. [实验 **衍射实验台** 从单缝、双缝和多缝的焦平面扫描开始。](https://sandboxphysics.com/zh/labs/diffraction/)
2. [实验 **Young 双缝实验台** 给双缝加入振幅不平衡与部分相干。](https://sandboxphysics.com/zh/labs/young-double-slit-bench/)
3. [当前页面 **孔径衍射工作室** 绘制二维孔径，再比较互补遮挡。](https://sandboxphysics.com/zh/labs/aperture-diffraction-studio/)
4. [实验 **波前传播 Lab** 移动接收面，观察近场到远场的变化。](https://sandboxphysics.com/zh/labs/huygens-fresnel-propagation-lab/)
5. [实验 **衍射光栅光谱仪** 把刻线间距、照明刻线数与光谱分辨率联系起来。](https://sandboxphysics.com/zh/labs/diffraction-grating-spectrometer/)

波与光学 · 入门路径

## 从一条光线到干涉测量

从折射出发，找到光线模型失效的地方，再用干涉测量极小的距离。

[从这里开始 → **光学界面探索器** 转动入射角，观察反射与透射功率此消彼长；再切换到“临界角与全反射”场景。 观察 · 11 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/optical-boundary-explorer/)

1. [1 光学界面探索器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/optical-boundary-explorer/)
2. [2 彩虹焦散观测站](https://sandboxphysics.com/zh/labs/rainbow-laboratory/)
3. [3 针孔相机](https://sandboxphysics.com/zh/labs/camera-obscura/)
4. [4 相干波合成器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/coherent-wave-composer/)
5. [5 Young 双缝实验台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/young-double-slit-bench/)
6. [6 Michelson 精密测量台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/michelson-precision-lab/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/waves-and-optics/#starter-path)