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title: "角动量滑冰者互动实验｜Sandbox Physics"
description: "角动量不变，动能却能增加吗？能。没有外力矩，角动量不变，把质量往里收，转得就更快。"
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last_modified: "2026-10-27"
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M054 · 转动 / 内力做功

# 角动量滑冰者

**角动量不变，动能却能增加吗？** 能。没有外力矩，角动量不变，把质量往里收，转得就更快。动能也跟着涨：转动惯量减半，转速和动能都翻倍。多出来的能量，来自把质量往里拉的那个力做的功，比如滑冰者收臂时使的劲。

旋转载体上有两个对称的质点，可以沿径向滑动，用来模拟旋转的滑冰者。设定平滑的收拢或展开过程，比较慢拉和快拉，再加上方向可选的外力矩。任何时刻都能查看实际半径、角动量、径向动能，以及单独积分得到的执行器做功。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

滑块是理想的，沿无质量导轨水平移动；半径按指定的五次曲线变化，中心载体的转动惯量固定。这是机械类比，不考虑人体力学、摩擦和执行器力上限，也没有质量甩出，所有质量始终连着。转动动能和径向动能都计入。角动量随外力矩的角冲量变化；执行器做功由径向力乘径向速度积分得到，和能量变化分开计算。三维标记大小和载体厚度只是示意。

物理教程

## 角动量守恒，不等于动能守恒

**背景** 滑冰者把质量收向转轴，就转得更快。这里用旋转载体上两个对称的径向滑块来模拟。拉动滑块的力沿半径方向，对转轴没有力矩，却能做功。

**为什么值得理解** OpenStax《大学物理》11.3 节讲了转动惯量变化、角动量守恒和内力做功之间的关系。本装置把径向运动也算进来，另外加入外力矩做单独检验。

先抓重点

- **核心问题**: 没有外力矩时，增加的动能由谁提供？
- **一句话直觉**: 绕轴的角动量决定了质量移动时角速度怎样变。径向执行器往系统里输入动能，或者取走动能；收放过程中，有一部分动能在径向运动里。

### 核心数学模型

#### 转动惯量与外力矩的角冲量

$$
I(t)=I_c+2mr(t)^2,\qquad L(t)=I(0)\omega_0+\tau t,\qquad\omega(t)=\frac{L(t)}{I(t)}
$$

两个质点的质量都等于所选滑块质量，始终连在载体上。中心载体的转动惯量固定。从上往下看，逆时针转为正。

#### 执行器沿径向的拉力

$$
F_r=m(\ddot r-r\omega^2),\qquad P_{\mathrm{act}}=2F_r\dot r
$$

径向力和径向速度都以向外为正。这是每个质点实际受到的径向力，写在惯性系里，没有另加离心力。

#### 转动动能和径向动能

$$
K=\frac12I\omega^2+m\dot r^2,\qquad\frac{\mathrm dK}{\mathrm dt}=\tau\omega+2F_r\dot r
$$

两个滑块除了跟着转，还有沿径向运动的动能。做的功由各个物理功率分别算出，再积分得到。

#### 平滑的半径变化曲线

$$
r=r_0+(r_1-r_0)(10s^3-15s^4+6s^5),\qquad s=\frac{t-1\,\mathrm{s}}{T}
$$

这条曲线只在收放过程中起作用，之前和之后半径不变。两端衔接处的径向速度和加速度都为零。半径按指定方式变化，没有带力上限的控制器。

### 常见难点

#### 内力也能做功

**容易误解** 没有外力矩，动能就不会改变。

**正确理解** 径向力对转轴没有力矩，但质量沿径向移动时，它的功率不为零。看执行器做功曲线就知道。

#### 快拉时，一部分动能在径向运动里

**容易误解** 整个过程中，动能全都是转动动能。

**正确理解** 快速收拢时，到过程中点看径向动能。径向运动停下来，这部分动能才消失。

#### 这是机械类比，不是真人

**容易误解** 画面能预测真人的肌肉用力，或者甩出配重后的情形。

**正确理解** 模型里没有人体力学、执行器上限和摩擦，也没有质量甩出。两个质量始终连着，半径按指定的平滑曲线变化。

### 动手实验

1. 01

   #### 预测最终转速

   外力矩为零时，先比较释放时和最终的转动惯量，再完成收放。

   **你会看到：** 角速度之比等于惯量之比的倒数，绕轴的角动量保持不变。

2. 02

   #### 找到能量来源

   查看执行器累计做的功和总动能变化。

   **你会看到：** 向内收拢后，转动动能变大，多出来的能量由执行器提供。

3. 03

   #### 比较快拉和慢拉

   两端半径不变，改变收放时长。

   **你会看到：** 外力矩为零时，最终角速度和净做功都一样，但过程中的径向动能和峰值力不同。

4. 04

   #### 加入外力矩

   选择“外部制动力矩”，查看角冲量。

   **你会看到：** 角动量的变化等于外力矩乘经过的时间，一秒的保持阶段也算在内。

物理结论

说守恒，要说清是哪个量守恒。没有外力矩时，角动量保持不变，内部执行器照样能改变动能。

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)