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title: "变形宽银幕与柱面透镜互动实验｜Sandbox Physics"
description: "怎样用透镜只在一个方向上拉宽或压窄图像？柱面透镜只在一个方向上有光焦度，另一个方向它不管。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/labs/anamorphic-cylindrical-optics/"
last_modified: "2026-10-27"
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光学 028 · 成像、仪器与视觉系统

# 变形宽银幕与柱面透镜

**怎样用透镜只在一个方向上拉宽或压窄图像？** 柱面透镜只在一个方向上有光焦度，另一个方向它不管。两片组合起来，可以只沿这个方向放宽或收窄光束，视场角却反着变：光束宽度加倍，这个方向的视场角就减半。宽银幕电影拍摄时压缩画面、放映时再展开，激光器打出一条线，靠的都是这一点。

三维变形光学台展示一对柱轴平行的 Kepler 柱面镜的两个正交子午面。表示 Gaussian 截面的圆环穿过内部线束腰，变成椭圆形的准直光瞳；这个光瞳决定角向网格的倒数压缩，以及另行标注的几何散景足迹。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

有光焦度的轴采用理想、无损的近轴薄透镜和 532 nm 基模 Gaussian 光束；正交轴没有光焦度。玻璃形状和辉光只用于显示。不考虑厚透镜面型处方、变形像差、渐晕、眩光、镀膜、偏振、传感器采样和衍射 PSF。

物理教程

## 检验变形宽银幕与柱面透镜的物理过程

**背景** 柱面透镜只在一个子午面有光焦度，与它垂直的子午面没有。本实验把两片柱轴平行的正柱面透镜放在无焦间距上，有光焦度的方向满足传输关系：$\mathbf M_x=\mathbf L(f_2)\mathbf P(f_1+f_2)\mathbf L(f_1)=\begin{pmatrix}-f_2/f_1&f_1+f_2\\0&-f_1/f_2\end{pmatrix}$。左下角元素为零，正是画面要检验的：准直光进去，出来仍是准直光，只是截面形状变了。

**为什么值得理解** 怎样用透镜只在一个方向上拉宽或压窄图像？

先抓重点

- **核心问题**: 怎样用透镜只在一个方向上拉宽或压窄图像？
- **一句话直觉**: 这对透镜不能分别放大瞳宽和视场角。在一级近轴近似下，两个缩放比互为倒数：$S_p=\left|\frac{f_2}{f_1}\right|,\qquad A_\theta=\left|\frac{f_1}{f_2}\right|,\qquad S_pA_\theta=1$。变形镜头的压缩和展开，定量上就靠这个倒数关系；两片透镜之间沿有光焦度方向形成的束腰，则是激光线的来源。

### 核心数学模型

#### 有光焦度与无光焦度子午面

$$
\mathbf L_x(f)=\begin{pmatrix}1&0\\-1/f&1\end{pmatrix},\qquad \mathbf L_y=\mathbf I
$$

青色光线按薄透镜规律改变角度；金色光线穿过同一块玻璃，却不受一级光焦度作用。真实的面形处方还会带来厚度项和像差项，本模型不包含这些。

#### 无焦柱面镜对

$$
d=f_1+f_2,\qquad C_x=0,\qquad \det\mathbf M_x=1
$$

第一片透镜把每条准直的边缘光线折向两片之间的线焦；第二片放在两焦距之和处，消去出射光在有光焦度方向上的角度。行列式等于一，说明近轴传输无损，相空间面积守恒。

#### Gaussian 光束让线焦有了有限宽度

$$
q_{\mathrm{out}}=\frac{Aq_{\mathrm{in}}+B}{Cq_{\mathrm{in}}+D},\qquad \frac{1}{q}=\frac{1}{R}-\mathrm i\frac{\lambda}{\pi w^2}
$$

按几何光线算，有光焦度方向上的宽度会缩到零。复光束参数把这个奇点换成基模 Gaussian 光束的有限束腰，无光焦度方向仍然很宽，于是得到一条亮度有限的真实线焦，而不是无限亮的数学线。

#### 几何椭圆散景

$$
\mathcal A_{\mathrm{bokeh}}=\max\!\left(S_p,S_p^{-1}\right)
$$

刻意离焦时，几何模糊斑沿用映射后瞳的长宽比。它不是衍射点扩散函数，也没有考虑像差、裁切、镀膜和电影眩光拉丝。

### 常见难点

#### 把所有椭圆光斑都叫作变形散景

**容易误解** 电影画面中任何横向椭圆或拉丝都能直接测出镜头的压缩比。

**正确理解** 离焦模糊斑可以随瞳的长宽比变化，但眩光拉丝还取决于反射、镀膜、光阑、裁切、像差和传感器响应。本 Lab 只显示瞳形状在理想一级近似下的影响，并与衍射 PSF 分开标注。

### 动手实验

1. 01

   #### 场景 1：柱面线焦

   从柱面线焦开始。改变第一焦距，观察青色有光焦度子午面光线移动束腰，而金色正交尺度保持宽展；同时确认第二片透镜始终位于两焦距之和的位置。

   **你会看到：** 只有青色子午面在每片柱面透镜处改变斜率；金色光线穿过两片元件时没有一级角度改变，因此内部焦点是一条线而不是一个点。

2. 02

   #### 场景 2：变形压缩

   切换到变形压缩。比较圆形输入网格、椭圆出瞳截面环与被压缩的角向网格；反转两焦距比例，验证扩展与压缩交换角色。

   **你会看到：** 第二焦距与第一焦距之比越大，有光焦度方向上的准直出瞳就越宽，对应的视场角则按严格的倒数比例变窄。

3. 03

   #### 场景 3：椭圆散景与激光线

   进入椭圆散景与激光线。比较物理上很窄的有光焦度轴 Gaussian 束腰与较长的无光焦度轴线段，再检查单独标注的几何散景卡是否服从同一瞳比例。

   **你会看到：** 为了看得清楚，画面里玻璃的弯曲程度随焦距变化，但它只代表一个理想薄透镜的光焦度。有光焦度方向上的边缘光线角度一旦不再很小，模型最先失效。

物理结论

理解变形光学，要把两个子午面分开看：只有一个方向有光焦度，所以两片透镜之间形成线状束腰；无焦镜对让光保持准直，瞳尺度和角尺度按互为倒数的比例缩放。椭圆散景是几何效应，要和衍射、眩光分开标注。

波与光学 · 入门路径

## 从一条光线到干涉测量

从折射出发，找到光线模型失效的地方，再用干涉测量极小的距离。

[从这里开始 → **光学界面探索器** 转动入射角，观察反射与透射功率此消彼长；再切换到“临界角与全反射”场景。 观察 · 11 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/optical-boundary-explorer/)

1. [1 光学界面探索器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/optical-boundary-explorer/)
2. [2 彩虹焦散观测站](https://sandboxphysics.com/zh/labs/rainbow-laboratory/)
3. [3 针孔相机](https://sandboxphysics.com/zh/labs/camera-obscura/)
4. [4 相干波合成器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/coherent-wave-composer/)
5. [5 Young 双缝实验台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/young-double-slit-bench/)
6. [6 Michelson 精密测量台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/michelson-precision-lab/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/waves-and-optics/#starter-path)