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title: "合金枝晶生长：相场模型为什么需要反截留流互动实验｜Sandbox Physics"
description: "枝晶怎样长进过饱和的合金熔体？弥散界面为什么会截留过多溶质？固相容纳的溶质比液相少，被排出的溶质堆在晶体前方，伸进更“新鲜”液体的凸起长得更快，变成枝臂。"
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  en: "https://sandboxphysics.com/labs/alloy-dendrite-antitrapping/"
last_modified: "2026-10-31"
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FR39 · 晶体缺陷

# 合金枝晶生长：相场模型为什么需要反截留流

**枝晶怎样长进过饱和的合金熔体？弥散界面为什么会截留过多溶质？** 固相容纳的溶质比液相少，被排出的溶质堆在晶体前方，伸进更“新鲜”液体的凸起长得更快，变成枝臂。模拟里的界面比真实界面宽得多，会让固相留下过多溶质；再加一项把溶质推回液相的流，就能恢复正确的量。

用 Karma 2001 年的相场模型长出四臂枝晶。关掉反截留流，看固相留下远多于应有的溶质。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型假设

晶体在稀二元合金中等温生长，采用 Karma（2001）的薄界面相场模型，分配系数、过饱和度、各向异性和界面宽度都取原文的值。每个尖端前方，被排出的溶质堆积起来，必须扩散开，这决定了尖端速度。反截留流消掉弥散界面原本会在固相里留下的虚假溶质跳变。尖端速度图上的对照点是从原文图 1 目测读出的，原文网格比本实验细一倍；路线基准显示，本实验的网格给出的尖端速度约慢一成，固相浓度相同。全部为模拟结果，没有显微照片。

模拟的尖端速度随时间的变化

沿枝臂轴线的溶质

更多数值与计算方法

- **尖端处局部平衡的固相浓度**: $0$
- **固相中多出的溶质**: $0$
- **远离晶体处的溶质**: $0$
- **尖端位置**: $0$
- **界面模型**: $0$
- **总溶质的变化**: $0$

尖端取界面与生长轴的交点，用线性插值求得；尖端半径由轴线附近几行界面点拟合的抛物线给出。固相浓度在枝臂上平均，范围从离晶体中心 30 个毛细长度处到尖端后方 20 个毛细长度处。虚线参照是按测得的尖端曲率算出的局部平衡值，不是拟合。导出文件列出设置和每个采样。

物理教程

## 长大的晶体必须把溶质推开

**背景** 合金凝固时，固相能容纳的溶质通常少于它所生长的液相。被排出的溶质堆在界面前方，要先扩散开，晶体才能前进；所以任何伸进更“新鲜”液体里的凸起都长得更快。这种不稳定性把圆形晶核变成枝晶。

**为什么值得理解** 枝晶间距和枝臂间留下的溶质决定了铸件和焊缝的组织。相场模型是计算它们的标准方法，但前提是它的弥散界面能重现锐界面的物理。

先抓重点

- **核心问题**: 枝晶怎样长进过饱和的合金熔体？弥散界面为什么会截留过多溶质？
- **一句话直觉**: 慢速生长时，固相应当满足 $c_{\mathrm s}=k\,c_{\mathrm l}$，这里 $k=0.15$。相场界面的宽度 $W$ 比真实界面宽得多，溶质在其中扩散的速率不对，固相里会多留溶质。Karma 的反截留流把这部分溶质推回液相，恢复局部平衡。

### 核心数学模型

#### 含反截留流的溶质通量

$$
\vec j=-D\,q(\phi)\,c\,\nabla u-a_t\,W\,c_l^0(1-k)\,e^{u}\,\partial_t\phi\;\frac{\nabla\phi}{|\nabla\phi|},\qquad a_t=\frac{1}{2\sqrt2}
$$

第一项是液相中的普通扩散，在固相中关闭。第二项从固相指向液相，只在界面运动的地方起作用；强度 $a_t$ 被取成刚好让虚假的溶质跳变消失。

#### 耦合常数的选取

$$
d_0=a_1\,\frac{W}{\lambda},\qquad \beta=a_1\Bigl(\frac{\tau}{\lambda W}-a_2\,\frac{W}{D}\Bigr)=0
$$

取 $a_1=0.8839$、$a_2=0.6267$，再令 $D=a_2\lambda W^2/\tau$，界面动力学项就消失了，模型只描述由扩散和毛细作用控制的生长。

### 常见难点

#### 把界面变薄并不是出路

**容易误解** 溶质截留只是分辨率问题，把 W 取得足够小就没了。

**正确理解** 把 W 缩到真实界面的宽度，需要的网格对任何枝晶计算都太细了。反截留流在算得起的界面宽度上就把这个误差消掉。

### 动手实验

1. 01

   #### 长出一个枝晶

   从“四臂枝晶”开始，读出尖端速度和留在固相中的溶质。

   **你会看到：** 四条枝臂沿晶轴生长，尖端速度趋于稳定，尖端后方的固相溶质接近 $k\,c_l^0=0.15\,c_l^0$。

2. 02

   #### 关掉反截留流

   选择“溶质被截留”，参数都不变，只去掉反截留流。

   **你会看到：** 在本实验的网格上，固相溶质在晶核附近约为 $0.31\,c_l^0$，沿枝臂更远处约为 $0.21\,c_l^0$；有反截留流时是 $0.145\,c_l^0$。多出来的这部分就是 Karma 消掉的虚假截留。

3. 03

   #### 去掉各向异性

   选择“没有各向异性就没有稳定尖端”，把尖端形状和四臂枝晶比较。

   **你会看到：** 没有优选方向，尖端会变平并分裂，而不是长成稳定的针尖。

物理结论

溶质排出使合金晶体的生长不稳定，界面能的各向异性选定枝晶方向；弥散界面模型需要反截留流，才能在固相里留下正确的溶质量。

## 相关实验与文章

晶体缺陷与显微组织 · 阅读路径

### 从伯格斯矢量到合金枝晶

这条阅读路径里用到本实验的文章，后面跟着它们推荐的其他实验。

1. [文章 **合金相场模型中的溶质截留与反截留流**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/crystal-defects-microstructure/thin-interface-alloy-solidification-and-antitrapping/)
2. [文章 **读 Karma 2001 的合金相场论文，并复现其中的枝晶图**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/crystal-defects-microstructure/reading-karma-2001/)

场、流体与物质 · 入门路径

## 从电场到电子显微镜

先看懂电场、学会操控带电粒子，再算出电子的波长，用电子束观察晶体和表面。

[从这里开始 → **看见电场** 在偶极子周围移动探针，看电场是不是总指向电势地形的下坡方向。 观察 · 8 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/electric-field/)

1. [1 看见电场](https://sandboxphysics.com/zh/labs/electric-field/)
2. [2 电荷在场中转弯](https://sandboxphysics.com/zh/labs/charged-particle/)
3. [3 电子波长与加速电压](https://sandboxphysics.com/zh/labs/electron-wavelength/)
4. [4 电子衍射与倒空间](https://sandboxphysics.com/zh/labs/electron-diffraction/)
5. [5 TEM 明场、暗场与选区衍射](https://sandboxphysics.com/zh/labs/tem-mode-selector/)
6. [6 SEM 二次电子表面形貌](https://sandboxphysics.com/zh/labs/sem-topography/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/fields-and-matter/#starter-path)