---
title: "伴随法全波形反演与周期跳跃互动实验｜Sandbox Physics"
description: "波形反演为什么需要低频数据或好的初始模型？因为拟合比较的是波形的起伏。"
canonical_url: "https://sandboxphysics.com/zh/labs/adjoint-waveform-inversion/"
language: "zh-CN"
page_type: "lab"
alternate_languages:
  en: "https://sandboxphysics.com/labs/adjoint-waveform-inversion/"
last_modified: "2026-10-31"
---

FR36-D · 伴随梯度、频段与留出数据

# 伴随法全波形反演与周期跳跃

**波形反演为什么需要低频数据或好的初始模型？** 因为拟合比较的是波形的起伏。如果初始模型预测的波与实测波错开超过半个周期，修正就会对准错误的那个波峰，拟合停在错误的模型上。低频的周期更长，所以先用低频，或从已经接近真实的模型出发，就能避开这种情况。

震源在上、接收器在下，中间的岩块里藏着一个高速圆盘。每一步都用伴随梯度去拟合记录到的波形。直接从高频开始，拟合会卡住；先用低频，圆盘就显现出来。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

模型假设

二维常密度声波，60 行 60 列网格、单元 25 m，外围有吸收层，空间四阶、时间二阶。观测数据由同一方程在空间和时间都加密一倍的网格上算出，再加 2% 固定种子噪声，所以反演没有重复使用自己的离散。每个频段用 Ricker 子波，并去掉峰值频率一半以下的成分，模拟野外数据缺少最低频率。梯度是求解器的精确离散伴随（已与有限差分核对）。优化器是带光滑预条件和回溯线搜索的 L-BFGS；每四个接收器留出一个，从不参与拟合。几何参照 Yang、Engquist、Sun 与 Froese（2016）的 Camembert 检验，按比例缩小。

数据：一炮的观测波形与预测波形

- 观测
- 观测（留出）
- 当前模型的预测

重建结果：当前速度模型

- 真实圆盘轮廓

失配与模型误差随迭代的变化

- 失配，参与反演的接收器
- 失配，留出接收器
- 模型误差

更多读数与模型记录

- **当前频段峰值频率**
- **频段保留的最低频率**
- **峰值频率的半周期**
- **已完成迭代**
- **正在计算**
- **数据噪声**
- **线搜索失败**

记录保存每次迭代的失配与模型误差，以及真实和重建的速度网格。

[继续学习：从地震波到反演的地震成像](https://sandboxphysics.com/zh/stories/seismic-imaging/)

物理教程

## 伴随法全波形反演与周期跳跃

**背景** 走时层析每条射线只用一个数。全波形反演用每道记录的每个采样点，因此能看到比射线图像更小的构造。它不断调整模型，直到模拟波形与记录波形吻合。

**为什么值得理解** 模型有几千个格子，用有限差分每一步就要几千次模拟。伴随方法只需每个震源再做一次反传模拟，就能得到失配 $J$ 的完整梯度。

先抓重点

- **核心问题**: 波形反演为什么需要低频数据或好的初始模型？
- **一句话直觉**: 最小二乘波形失配有许多个谷。预测波与观测波错开超过半个周期时，梯度指向错误的那个周期。更低的频率或更好的初始模型，会把包含真值的那个谷变宽。

### 核心数学模型

#### 最小二乘波形失配

$$
J(\mathbf v)=\tfrac12\sum_{s}\sum_{r}\sum_{n}\left(u_{s}(\mathbf x_r,t_n;\mathbf v)-d_{s}(\mathbf x_r,t_n)\right)^2
$$

对震源 $s$、参与拟合的接收器 $r$ 和时间采样 $n$ 求和。留出的接收器不进入 $J$，只用来检验结果。

#### 离散伴随与梯度

$$
\lambda^{n}=\left(2\mathbf I+\Delta t^2\nabla_h^2\mathbf K\right)(a\lambda^{n+1})-ab\,\lambda^{n+2}+r^{n},\qquad \frac{\partial J}{\partial\kappa}=\sum_n a\,\Delta t^2\,(\nabla_h^2u^n)\,\lambda^{n+1}
$$

伴随场 $\lambda$ 由接收器处的残差 $r^n$ 驱动，倒着时间传播。$\mathbf K$ 存放波速平方 $\kappa=v^2$，$a$、$b$ 是吸收层系数。这个格式恰好是时间推进的转置，所以它给出的梯度与有限差分在舍入误差内一致。

#### 何时出现周期跳跃

$$
\lvert\Delta t\rvert>\frac{T}{2}=\frac{1}{2f}
$$

时延大于半个周期，预测波就会与观测波相邻的那个周期对齐。

### 常见难点

#### 失配下降不等于模型变好

**容易误解** 只要波形失配在下降，模型就一定在接近真值。

**正确理解** 在周期跳跃预设中，失配下降而模型误差增大。需要留出的接收器和对初始模型的检验，才能分辨两者。

### 动手实验

1. 01

   #### 从高频开始

   选“只用高频：周期跳跃”，看模型误差曲线。

   **你会看到：** 失配降到起始值的一半左右，模型误差却升到了起点之上：拟合正滑进一个错误的谷。

2. 02

   #### 先低频，再高频

   选“先低频，后高频”，把重建结果与虚线圆盘比较。

   **你会看到：** 4 Hz 频段先恢复出一个平滑的高速团，10 Hz 频段再让它变清晰，留出接收器的失配也随拟合失配一起下降。

3. 03

   #### 给一个好的起点

   选“好的初始模型”。

   **你会看到：** 从模糊的真值出发，只用 10 Hz 也能收敛，因为剩下的时延已经远小于半个周期。

物理结论

伴随梯度让波形反演算得起；低频或好的起点让它靠得住。

## 相关实验与文章

地震成像 · 阅读路径

### 地震波与地下成像：从岩层界面到层析成像

这条阅读路径里用到本实验的文章，后面跟着它们推荐的其他实验。

1. [文章 **波形反演中的伴随梯度与周期跳跃**](https://sandboxphysics.com/zh/stories/seismic-imaging/adjoint-gradients-and-cycle-skipping/)

运动与动力系统 · 入门路径

## 从一次下落到一条轨道

先测重力，再分解运动，加入接触力与碰撞，最后把同样的定律带到轨道上。

[从这里开始 → **自由落体与重力测量** 采集几次下落，用相机记录的位置拟合重力加速度；再加入空气阻尼，看拟合结果怎样偏离真值。 观察 · 14 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)

1. [1 自由落体与重力测量](https://sandboxphysics.com/zh/labs/free-fall/)
2. [2 抛体飞行设计器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/projectile-flight/)
3. [3 斜面与摩擦](https://sandboxphysics.com/zh/labs/inclined-plane/)
4. [4 一维碰撞台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/collision-bench/)
5. [5 弹簧振子与周期标定](https://sandboxphysics.com/zh/labs/mass-spring/)
6. [6 轨道是怎样形成的](https://sandboxphysics.com/zh/labs/orbit/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/mechanics/#starter-path)