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title: "Abbe 分辨率实验室互动实验｜Sandbox Physics"
description: "为什么斜着照明能看清原本分辨不出的条纹，挡掉一部分光又会造出更细的假条纹？细条纹把光衍射到很大的角度，物镜至少要收进两个衍射级、让它们干涉，才成得了像。"
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last_modified: "2026-10-27"
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光学 063 · 衍射、Fourier 光学与计算成像

# Abbe 分辨率实验室

**为什么斜着照明能看清原本分辨不出的条纹，挡掉一部分光又会造出更细的假条纹？** 细条纹把光衍射到很大的角度，物镜至少要收进两个衍射级、让它们干涉，才成得了像。倾斜照明把各级整体偏向一边，零级和一个一级就能同时进入光瞳，条纹重新出现。如果只放正负一级通过、挡住零级，它们干涉出的条纹周期只有原来一半，这种细节样品上根本没有。

在 Abbe–Porter 光台上挑选衍射级次。用倾斜照明找回看不见的光栅，开大瞳孔，并看看假的半间距细节是怎样出现的。

> 交互仿真：在浏览器中打开本页，即可调整参数并运行模型。

样品是空气中理想的标量相干无限周期物体，瞳孔用正弦坐标描述；放大率为一的 4f 硬件只作示意。像由所有通过的谐波精确求和得到。级次按硬阈值决定通过与否，结果是点采样，场景各部分比例不同。不考虑有限边缘、矢量效应、像差和相机噪声。它不是通用的双点判据，也不是叠层成像重建。

物理教程

## 检验Abbe 分辨率实验室的物理过程

**背景** 周期性样品把相干平面波衍射成一个个分立的级次。某一级要进入圆形光瞳，需要满足 $\left\lVert\boldsymbol s_i+\lambda\boldsymbol\nu_{mn}\right\rVert\le\mathrm{NA}$。倾斜光源时，所有级次一起平移；级次之间隔多远，由样品的完整周期决定。

**为什么值得理解** 为什么斜着照明能看清原本分辨不出的条纹，挡掉一部分光又会造出更细的假条纹？

先抓重点

- **核心问题**: 为什么斜着照明能看清原本分辨不出的条纹，挡掉一部分光又会造出更细的假条纹？
- **一句话直觉**: 像就是穿过光瞳的各级次相互干涉的结果：$I_{\rm img}=\left|\sum c_{mn}P_{mn}e^{-2\pi i(\boldsymbol\nu_{mn}\cdot\boldsymbol r+m\delta/p)}\right|^2$。只剩一个级次时，强度处处一样。相邻两级能还原原来的周期；正负一级如果没有零级陪着，干涉出的条纹只有原周期的一半。

### 核心数学模型

#### 光栅频率与光瞳上的位置

$$
\begin{aligned}\boldsymbol\nu_{mn}&=\frac1p\mathsf R_\alpha(m,n)\\\boldsymbol s_i&=(\beta\mathrm{NA},0)\\\boldsymbol r_P&=f(\boldsymbol s_i+\lambda\boldsymbol\nu_{mn})\\R_P&=f\mathrm{NA}\end{aligned}
$$

横向坐标取水平方向和竖直向下方向。旋转角让第一条光栅法线从水平转向竖直向下。波长和周期用微米，光瞳坐标用毫米。这里用的是理想的正弦光瞳映射，不能当作高 NA 镜头的矢量设计。

#### 轴向照明与对齐斜照的截止周期

$$
\begin{aligned}p_{\rm axial}&=\frac\lambda{\mathrm{NA}}\\p_{\rm aligned}&=\frac\lambda{\mathrm{NA}+|\sin\theta_i|}\\p_{\rm edge}&\to\frac\lambda{2\mathrm{NA}}\end{aligned}
$$

这些都是光栅的完整周期，既不是半周期，也不是 Rayleigh 两点间距。要达到最后那个极限，照明必须放在光瞳边缘，并与光栅频率对齐。实时显示的支持周期也考虑了光栅旋转，但不考虑额外的光瞳掩模。

#### 挡掉零级，条纹周期减半

$$
\begin{aligned}t(x)&=\tfrac12+\tfrac12\cos(2\pi x/p)\\U_{\rm no\,DC}&=\tfrac12\cos(2\pi x/p)\\I_{\rm no\,DC}&=\tfrac18[1+\cos(4\pi x/p)]\end{aligned}
$$

条纹平滑、方向对齐、两侧一级都收进来时，挡掉零级会去掉强度里的基频，截线反差却仍可以是一。模拟把这个伪影原样留在像里。

#### 一个周期内的平均强度与探测器显示

$$
\begin{aligned}\langle I_{\rm out}\rangle&=\sum|c_{mn}P_{mn}|^2\\T_{\rm cell}&=\frac{\langle I_{\rm out}\rangle}{\langle|t|^2\rangle}\\B&=\min(1,G I/I_{\rm inc})\end{aligned}
$$

各级次相互正交，求和得到的就是一个完整周期内的标量均方透射率。它不是显示区域内的总功率，也不是经过标定的斜入射通量。接收图在八微米范围内每边取一百九十二个采样点。原始截线有五百一十二个点，沿第一光栅法线覆盖一个周期。截线纵轴范围有标注，可能自动缩放，但数据本身从不乘显示增益。

### 常见难点

#### 看着更细的条纹，可能是错的条纹

**容易误解** 反差变大了，或者条纹多了一倍，分辨率肯定提高了。

**正确理解** 平滑条纹挡掉零级后，只剩正负一级。两者干涉出的条纹周期只有原来的一半，原始频率上的振幅却变成零。多出来的条纹来自级次的取舍，并没有带来样品的新信息。别只看反差，还要看标出的原始频率振幅。

### 动手实验

1. 01

   #### 场景 1：轴向照明 · 条纹消失

   在轴向照明下慢慢开大光瞳，看一级什么时候进来。图像会突然改变，因为模型把光栅当成无限长。

   **你会看到：** 改波长，级次在光瞳里移动，NA 光阑本身不动。改 NA，真实孔径的半径跟着变；归一化倾斜不变时，光源也会一起移动。

2. 02

   #### 场景 2：倾斜照明 · 找回周期

   在倾斜预设中，横向拖动瞳图上的零级点，再旋转光栅。同样的倾斜，对垂直方向的频率帮助没那么大。

   **你会看到：** 二值开孔含有很多谐波。收进的谐波越多，边缘越锐；但只要级次有取舍，振铃和假细节就真实存在。

3. 03

   #### 场景 3：挡掉零级 · 假半间距

   依次比较全开的光瞳、只留零级的光瞳和挡掉零级的光瞳。再让交叉网格穿过水平狭缝，对照沿法向取的原始截线。

   **你会看到：** 斜照曝光一次，只能找回所选方向上的信息。它拼不出各个方向都清晰的高分辨率像，也不能从强度里恢复相位。

物理结论

分辨率看的是样品信息保留了多少，不只是像亮不亮、反差大不大、看起来细不细。

波与光学 · 入门路径

## 从一条光线到干涉测量

从折射出发，找到光线模型失效的地方，再用干涉测量极小的距离。

[从这里开始 → **光学界面探索器** 转动入射角，观察反射与透射功率此消彼长；再切换到“临界角与全反射”场景。 观察 · 11 分钟](https://sandboxphysics.com/zh/labs/optical-boundary-explorer/)

1. [1 光学界面探索器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/optical-boundary-explorer/)
2. [2 彩虹焦散观测站](https://sandboxphysics.com/zh/labs/rainbow-laboratory/)
3. [3 针孔相机](https://sandboxphysics.com/zh/labs/camera-obscura/)
4. [4 相干波合成器](https://sandboxphysics.com/zh/labs/coherent-wave-composer/)
5. [5 Young 双缝实验台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/young-double-slit-bench/)
6. [6 Michelson 精密测量台](https://sandboxphysics.com/zh/labs/michelson-precision-lab/)

[查看完整路径 →](https://sandboxphysics.com/zh/topics/waves-and-optics/#starter-path)